Gravitationspotential

Gravitationspotential är en skalär funktion av koordinater och tid , tillräckligt för en fullständig beskrivning av gravitationsfältet i klassisk mekanik . Den har dimensionen av kvadraten av hastighet, vanligtvis betecknad med bokstaven . Gravitationspotentialen vid en given punkt i rymden, given av radievektorn , är numeriskt lika med det arbete som gravitationskrafter utför när man förflyttar en testkropp med enhetsmassa längs en godtycklig bana från en given punkt till en punkt där potentialen antas. att vara noll. Gravitationspotentialen är lika med förhållandet mellan den potentiella energin hos en liten kropp placerad vid denna punkt och kroppens massa . Liksom potentiell energi är gravitationspotentialen alltid definierad upp till en konstant term, vanligtvis (men inte nödvändigtvis) vald på ett sådant sätt att potentialen i oändligheten visar sig vara noll. Till exempel är gravitationspotentialen på jordens yta, mätt från en oändligt avlägsen punkt (om vi försummar solens, galaxens och andra kroppars gravitation), negativ och lika med -62,7 10 6 m 2 / s 2 (halva kvadraten av den andra kosmiska hastigheten ). $\varphi$ ${\vec {r))$ $U({\vec {r)))$ $m$

För första gången introducerades begreppet gravitationspotential i vetenskapen av Adrien Marie Legendre i slutet av 1700-talet .

I moderna gravitationsteorier spelas gravitationspotentialens roll vanligtvis av tensorfält. Så i den nuvarande standardteorin om gravitation - den allmänna relativitetsteorin - spelas gravitationspotentialens roll av den metriska tensorn .

Gravitationspotential och rörelseekvationer

En partikels rörelse i ett gravitationsfält i klassisk mekanik bestäms av Lagrange-funktionen , som i tröghetsreferensramen har formen:

L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi ,

där är partikelns massa, är den generaliserade koordinaten för partikeln, är potentialen för gravitationsfältet. $m$ $q$ $\varphi$

Att ersätta uttrycket för Lagrangian i Lagrangekvationerna : $L$

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0 ,

vi får rörelseekvationerna

{\ddot {q}}=-\operatörsnamn {grad} \varphi .

En partikels rörelseekvationer i ett gravitationsfält i klassisk mekanik innehåller inte massa eller någon annan kvantitet som kännetecknar partikeln. Detta faktum är en återspegling av principen om ekvivalens mellan tyngdkrafterna och trögheten . $m$

Gravitationspotential för en punktmassa och en godtycklig kropp

Gravitationspotentialen som skapas av en punktmassa som ligger vid origo är lika med $M$

\varphi ({\vec {r)))=-{\frac {GM}{r}}+C,

där är gravitationskonstanten , är avståndet från origo (radievektorns modul ). Betecknar en godtycklig konstant, som utelämnas när man väljer vid oändlighet. $G$ $r$ ${\vec {r))$ $C$ $\varphi=0$

Samma formel gäller för gravitationspotentialen utanför varje kropp med en sfäriskt symmetrisk massfördelning. Ett exempel skulle vara en enhetlig boll eller en tunn sfär. (Obs: inuti sfären är potentialen lika med sfärens potential , där är sfärens radie). $-GM/a$ $a$

I det allmänna fallet uppfyller gravitationspotentialen som skapas av en godtycklig massafördelning (densiteten beror på koordinaterna på ett godtyckligt sätt) Poissons ekvation $\rho$

\Delta \varphi ({\vec {r)))=4\pi G\rho ({\vec {r))),

var är Laplace-operatören . Lösningen av en sådan ekvation har formen $\Delta$

\varphi ({\vec {r)))=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^ {\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C.

Här är radievektorn för den punkt vid vilken potentialen söks, och är radievektorn för ett element med oändligt liten volym med en substansdensitet ; integration utförs över hela volymen av de kroppar som skapar fältet. ${\vec {r))$ ${\vec {r}}^{\prime }$ ${\displaystyle dV^{\prime ))$ $\rho ({\vec {r))^{\prime })$

Gravitationspotential och gravitationsenergi

Den potentiella energin för en partikel som befinner sig i ett gravitationsfält vid en punkt är lika med potentialen för fältet vid denna punkt, multiplicerat med partikelns massa : ${\vec {r))$ $m$

U({\vec {r)))=m\varphi ({\vec {r)))

Gravitationsenergin hos ett system av kroppar (diskreta partiklar) förstås som den potentiella energin på grund av den ömsesidiga gravitationsattraktionen av dessa partiklar. Det är lika med halva summan av de potentiella energierna hos enskilda partiklar; genom att dividera med två undviker du dubbelredovisning av samma interaktioner. Till exempel för ett par materialpunkter på avstånd från varandra $l$

U_{g}={\frac {1}{2}}\left[U_{1}+U_{2}\right]={\frac {1}{2}}\left[-G{ \frac {m_{1}m_{2}}{l}}-G{\frac {m_{2}m_{1}}{l}}\right]=-G{\frac {m_{1}m_ {2}}{l}};

här är den potentiella energin för den första punkten i fältet för den andra, och är den andra i fältet för den första. $U_{1}$ $U_{2}$

På liknande sätt, för gravitationsenergin för en kontinuerlig fördelning av massor , är uttrycket sant:

U_{g}={\frac {1}{2))\int _{V}\rho ({\vec {r)))\varphi ({\vec {r)))dV,

där är massdensiteten , är gravitationspotentialen beräknad med formlerna från föregående avsnitt, är kroppens volym. Således är gravitationsenergin för en boll med massa och radie , med en enhetlig densitetsfördelning, . $\rho$ $\varphi$ $V$ $m$ $a$ $U_{g}=-3Gm^{2}/5a$

Serieutvidgningar av gravitationspotentialen

För att beräkna gravitationspotentialen för ett godtyckligt masssystem på stora avstånd från det, kan vi expandera:

\varphi =-G\left({\frac {M}{R_{0}}}+{\frac {1}{6}}D_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{ 2}}{\partial {X_{\alpha }}\partial {X_{\beta }}}}{\frac {1}{R_{0}}}+...\right),

var är systemets totala massa och kvantiteterna: $M=\int \rho dV$

D_{\alpha \beta }=\int \rho (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })dV

bildar kvadrupolmassmomenttensorn . _ _ Det är relaterat till det vanliga tröghetsmomentet tensor

J_{\alpha \beta }=\int \rho (r^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{\alpha }x_{\beta })dV

uppenbara förhållanden

D_{{\alpha \beta }}=J_{{\gamma \gamma }}\delta _({\alpha \beta }}-3J_{{\alpha \beta }}).

En expansion i termer av sfäriska funktioner är också möjlig, som används särskilt vid analys av gravitationsfält hos kosmiska kroppar:

\varphi =-{\frac {GM}{r}}\left(1-\summa _{n=2}^{\infty }J_{n}\left({\frac {R}{r }}\right)^{n}P_{n}(\sin \theta )+\summa _{n=2}^{\infty }\summa _{k=2}^{n}\left({\ frac {R}{r}}\right)^{n}(C_{nk}\cos(k\lambda )+S_{nk}\sin(k\lambda ))P_{n}^{k}(\ sin\theta )\right).

Här är de sfäriska koordinaterna för observationspunkten, är Legendre-polynomet av n:e ordningen, är de associerade Legendre-polynomen, är gravitationsmomenten [1] . $r,\theta ,\lambda$ $P_{n}$ $P_{{n}}^{{k}}$ $J_{n},C_{nk},S_{nk}$

Gravitationspotential och allmän relativitet

I den allmänna relativitetsteorin har rörelseekvationerna för en materiell punkt i ett gravitationsfält formen:

{\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds} }{\frac {dx^{s}}{ds}}=0,

var finns Christoffel-symbolerna . Här är den metriska tensor som kännetecknar gravitationsfältet i den allmänna relativitetsteorin. $\Gamma _{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}\left({\frac {dg_{kr}}{dx^{s}}}+{ \frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg_{rs}}{dx^{k}}}\right)$ $g_{{ik}}$

En jämförelse av dessa rörelseekvationer med den newtonska mekanikens rörelseekvationer visar att i den allmänna relativitetsteorin spelas gravitationspotentialens roll av den metriska tensorn. ${\frac {d^{{2}}x^{{i}}}{dt^{{2}}}}=-{\frac {d\varphi}{dx^{{i}}}}$ $\varphi$

När det gäller hastigheter som är små jämfört med ljusets hastighet och svaga konstanta gravitationsfält tar rörelseekvationerna formen

{\frac {d^{{2}}x^{{i}}}{dt^{{2}}}}=-c^{{2}}\Gamma _{{44}}^{{i }}

för rumsliga koordinater och för tidskoordinater. Om man försummar tidsderivatorna kan man istället substituera och på så sätt få de Newtonska rörelseekvationerna $i=1,2,3$ $x^{{4}}=ct$ $\Gamma _{{44}}^{{i}}$ $-{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{{44}}}{dx^{{i}}}}$

{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}.

Här är gravitationspotentialen och komponenten av den metriska tensorn relaterade av relationerna $\varphi$ $g_{{44}}$

\varphi =-{\frac {1}{2}}c^{{2}}(g_{{44}}+1)

g_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\right).

På grund av det faktum att elementet i världslinjen för en klocka i vila är , och tiden är, kommer inbromsningen av klockan i gravitationsfältet att vara $ds^{{2}}=g_{{44}}(dx^{4})^{2}$ $t={\frac {x^{4}}{c}}$

t_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g_{44))))={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^ {2}}}}}}\approx t\left(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right).

Den relativa retardationen av tiden vid en punkt med ett lägre värde på gravitationspotentialen jämfört med tiden vid en punkt med ett högre värde på gravitationspotentialen är lika med skillnaden i gravitationspotentialen vid dessa punkter, dividerat med kvadraten på ljusets hastighet.

Se även

Newtons klassiska gravitationsteori

Anteckningar

↑ Jordens och planeternas inre struktur, 1978 , sid. 46.
↑ Pauli V. Relativitetsteorin - M .: OGIZ - 1947, skjutbana. 16000 exemplar - 300 sidor.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoretisk fysik , lärobok för universitet, i 10 volymer / v. 1, "Mechanics", 5:e upplagan, stereotyp., M .: Fizmatlit. - 2002. - 224 s., ISBN 5-952521-0 -6 (vol. 1), kap. 1 "Rörelseekvationer", s. 2 "Principen för minsta handling", sid. 10-14;
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoretisk fysik , lärobok för universitet, i 10 volymer / v. 2, "Field Theory", 8:e upplagan, stereotyp., M .: Fizmatlit. - 2001. - 536 s., ISBN 5-9221- 0056-4 (vol. 2), kap. 10 "Partikel i ett gravitationsfält", s. 81 "Gravitationsfält i icke-relativistisk mekanik", sid. 304-306; kap. 12 "Fält för graviterande kroppar", s. 99 "Newtons lag", sid. 397-401;
Weinberg S. Gravity and Cosmology. Principer och tillämpningar av den allmänna relativitetsteorin, övers. från engelska. V. M. Dubovik och E. A. Tagirov, red. Ya. A. Smorodinsky, "Platon", 2000, ISBN 5-80100-306-1 , del 2 "General Relativity", kap. 3 "Ekvivalensprincip", s. 4 "Newtonsk approximation", sid. 92-93;
Kholshevnikov KV, Nikiforov II Egenskaper för gravitationspotentialen i exempel och problem: Lärobok. - St Petersburg, 2008. - 72 s., BBC 22.6.
Zharkov VN Jordens och planeternas inre struktur. — M .: Nauka, 1978. — 192 sid.