Grupphastighet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 maj 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Grupphastigheten är en storhet som kännetecknar utbredningshastigheten för en "grupp av vågor" - det vill säga en mer eller mindre vällokaliserad kvasi-monokromatisk våg (vågor med ett ganska smalt spektrum). Det tolkas vanligtvis som rörelsehastigheten för maximum av amplitudenveloppen för ett kvasi-monokromatiskt vågpaket (eller vågtåg). När det gäller utbredning av vågor i rymden med en dimension större än ett avses i regel ett vågpaket som är nära en plan våg [1] .

Grupphastigheten i många viktiga fall bestämmer hastigheten för energi- och informationsöverföring genom en kvasi-sinusformad våg (även om detta uttalande i det allmänna fallet kräver allvarliga klargöranden och reservationer).

Grupphastigheten bestäms av dynamiken i det fysiska systemet i vilket vågen utbreder sig (av ett visst medium, ett visst fält, etc.). I de flesta fall antas linjäriteten hos detta system (exakt eller ungefärligt).

För endimensionella vågor beräknas grupphastigheten från spridningslagen :

v_{gr}=d\omega /dk

där är vinkelfrekvensen , är vågtalet . $\omega$ $k$

Grupphastigheten för vågor i rymden (till exempel tredimensionell eller tvådimensionell) bestäms av frekvensgradienten längs vågvektorn : ${\vec k}$

{\vec v}_{{gr}}=\nabla _{{\vec k}}\omega

eller (för 3D-utrymme):

(v_{{gr}})_{x}=\partial \omega /\partial k_{x},

(v_{{gr}})_{y}=\partial \omega /\partial k_{y},

(v_{{gr}})_{z}=\partial \omega /\partial k_{z}.

Anmärkning: grupphastigheten, generellt sett, beror på vågvektorn (i det endimensionella fallet på vågtalet), det vill säga den är olika för olika värden och för olika riktningar av vågvektorn.

Specialfall

I endimensionella medier utan dispersion sammanfaller grupphastigheten formellt med fashastigheten endast i fallet med endimensionella vågor.

I dissipativa (absorberande) medier minskar grupphastigheten med ökande frekvens i fallet med normal fashastighetsdispersion och, omvänt, ökar i media med anomal dispersion . I det här fallet kan grupphastigheten övervinna ljusets hastighet i det valda mediet, såväl som negativ anomal dispersion, när grupphastigheten är motsatt fashastigheten. I dissipativa strukturer (till exempel plasmoniska) kan grupphastigheten ha vilket värde som helst: mindre än ljusets hastighet, mer än ljusets hastighet, vara negativ med avseende på fashastigheten, gå genom oändligheten. En sådan grupphastighet är en kinematisk storhet (som fashastigheten) och bestämmer överföringshastigheten för slagen för två monokromatiska vågor som är oändligt nära i frekvens (såsom betraktat av Stokes). För Hamiltonska system (slutna system utan förlust) i det allmänna fallet S.M. Rytov (ZhETF, 7, 930, 1947) bevisade ett teorem som säger att grupphastigheten sammanfaller med hastigheten för elektromagnetisk energiöverföring av en monokromatisk våg (Leontovich-Lighthill-Rytov-satsen). Negativ (med avseende på fashastigheten) grupphastighet i sådana icke-dissipativa medier och strukturer motsvarar bakåtgående vågor. I dissipativa medier och strukturer bestämmer riktningen för energirörelsen Poynting-vektorn eller riktningen för vågavklingningen.

Om mediets spridningsegenskaper är sådana att vågpaketet fortplantar sig i det utan betydande förändringar i formen på dess envelopp, kan grupphastigheten vanligtvis tolkas som överföringshastigheten för vågens "energi" och hastigheten vid vilka signaler som bär information kan sändas med användning av vågpaketet, (dvs "hastigheten för utbredning av kausalitet").

I den klassiska gränsen för kvantmekaniska ekvationer är hastigheten för en klassisk partikel värdet på grupphastigheten för motsvarande kvantmekaniska vågfunktion. En av ett par av Hamiltons kanoniska ekvationer :

{\dot q}_{i}=\partial H/\partial p_{i}

är alltså den klassiska gränsen för ovanstående uttryck för grupphastigheten; detta är särskilt tydligt i kartesiska koordinater, givet ${\vec p}=\hbar {\vec k},\ H(p,q)=\hbar \omega (k,q).$

Historik

Idén om en grupphastighet som skiljer sig från en vågs fashastighet föreslogs först av Hamilton 1839. Den första tillräckligt fullständiga övervägandet gjordes av Rayleigh i hans "Theory of Sound" 1877 [2] .

Anteckningar

↑ Miller M. A., Suvorov E. V. Grupphastighet // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1. - S. 544-545. - 704 sid. — 100 000 exemplar.
↑ Brillouin, Léon (1960), Wave Propagation and Group Velocity , New York: Academic Press Inc., OCLC 537250

Litteratur

Whitham J. B. Linjära och icke-linjära vågor. — M.: Mir. — 1977.
Ablowitz MJ & Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. — SIAM Philadelphia. — 1981.
Rabinovich MI, Trubetskov DI Oscillationer och vågor i linjära och olinjära system. — Kewver-Academic Publ., Amsterdam. — 1989.
Ostrovsky LA och Potapov AI modulerade vågor. Teori och tillämpningar. Johns Hopkins Uni Press, Baltimore-London. — 1999.

Våghastigheter _
grupphastighet Fashastighet Frontal hastighet Signalhastighet