Ree grupp

Ree -grupper är grupper av Lie-typ över ett ändligt fält som Ree [1] [2] konstruerade från exceptionella automorfismer av Dynkin-diagram som vänder om riktningen för flera kanter, vilket generaliserar Suzuki-grupperna som Suzuki hittade med en annan metod. Grupperna var de sista som upptäcktes i oändliga familjer av ändliga enkla grupper .

Till skillnad från Steinberg-grupper ges inte Ree-grupper av punkterna i en reduktiv algebraisk grupp definierad över ett ändligt fält. Med andra ord finns det ingen "algebraisk Ree-grupp" relaterad till Ree-grupper på samma sätt som (säg) enhetsgrupper är relaterade till Steinberg-grupper. Det finns dock några exotiska pseudoreduktiva algebraiska grupper över ofullkomliga fält vars konstruktion är relaterad till konstruktionen av Ree-grupper, eftersom de använder samma exotiska automorfismer av Dynkin-diagrammet som ändrar längden på rötterna.

Tits [3] definierade Ree-grupperna över oändliga fält av karakteristik 2 och 3. Tits [4] och Hee [5] introducerade Ree-grupperna av oändligt dimensionella generaliserade Kac-Moody-algebror .

Byggnad

Om X är ett Dynkin-diagram, konstruerade Chevalley klyvbara algebraiska grupper som motsvarar X , särskilt att ge grupper X ( F ) med värden i fältet F. Dessa grupper har följande automorfismer:

All automorfism av fältet F genererar en endomorfism av gruppen X ( F ) $\sigma$ ${\displaystyle \alpha _{\sigma ))$
Varje automorfism av Dynkin-diagrammet genererar en automorfism av gruppen X ( F ) . $\pi$ ${\displaystyle \alpha _{\pi ))$

Steinberg- och Chevalley-grupperna kan konstrueras som fixpunkter för endomorfismen X ( F ) för den algebraiska stängningen av fältet F. För Chevalley-grupper är automorfismen Frobenius-endomorfismen av F , medan för Steinberg-grupperna är automorfismen Frobenius-endomorfismen multiplicerad med automorfismen i Dynkin-diagrammet.

Över fält med egenskap 2 har grupperna B 2 ( F ) och F 4 ( F ) och över fält med egenskap 3 grupperna G 2 ( F ) en endomorfism vars kvadrat är en endomorfism relaterad till Frobenius endomorfism i fältet F . Grovt sett kommer denna endomorfism från en automorfism av ordning 2 i Dynkin-diagrammet, där rötternas längd ignoreras. ${\displaystyle \alpha _{\varphi ))$ $\varphi$ ${\displaystyle \alpha _{\pi ))$

Antag att fältet F har en endomorfism vars kvadrat är en Frobenius-endomorfism: . Då definieras Ree-gruppen som gruppen av element g från X ( F ) så att . Om fältet F är perfekt, då är och automorfismer, och Ree-gruppen är gruppen av fixpunkter för involutionen på X ( F ) . $\sigma$ $\sigma _{2}=\varphi$ $\alpha _{\pi }(g)=\alpha _{\sigma }(g)$ ${\displaystyle \alpha _{\pi ))$ ${\displaystyle \alpha _{\varphi ))$ ${\displaystyle \alpha _{\varphi }/\alpha _{\pi ))$

I det fall då F är ett ändligt ordningsfält p k (med p = 2 eller 3), finns det en Frobenius kvadratendomorfism exakt när k = 2 n + 1 är udda, i vilket fall den är unik. Detta ger alltså ändliga Ree-grupper som undergrupper av B 2 (2 2 n +1 ), F 4 ( 2 2 n + 1 ) och G 2 (3 2 n +1 ), fixerade genom involution.

Chevalley-grupper, Steinberg-grupper och Ree-grupper

Kopplingen mellan Chevalley-grupper, Steinberg-grupper och Ree-grupper är ungefär följande. Givet ett Dynkin-diagram X , konstruerade Chevalley ett gruppschema över heltalen Z vars värden över ändliga fält är Chevalley-grupper. I allmänhet kan man ta fasta punkter för en endomorfism av en grupp X ( F ) , där F är den algebraiska stängningen av ett ändligt fält, så att någon grad är en viss grad av Frobenius-endomorfismen . Tre fall är möjliga $\alfa$ $\alfa$ $\varphi$

För Chevalley-grupper för något positivt heltal n . I detta fall är fixpunktsgruppen gruppen av punkter X som definieras av det finita fältet. $\alpha =\varphi ^{n}$
För Steinberg-grupper, för vissa positiva heltal m och n , där m delar n och m > 1. I detta fall är fixpunktsgruppen också punktgruppen för den tvinnade (kvasi-delade) formen av gruppen X definierad över en ändligt fält. ${\displaystyle \alpha ^{m}=\varphi ^{n))$
För Ree-grupper, för vissa positiva heltal m , n , där m inte delar n . I praktiken är m =2 och n udda. Ree-grupper definieras inte som punkter i någon ansluten algebraisk grupp med värden i ett fält. De är fixerade ordningspunkter m =2 automorfismer av en grupp definierad över ett ordningsfält pn med udda n och det finns inget motsvarande ordningsfält pn / 2 . ${\displaystyle \alpha ^{m}=\varphi ^{n))$

Ree grupper av typ 2 B 2

Ree-grupper av typ 2 B 2 hittades först av Suzuki [6] med ett annat tillvägagångssätt, och de brukar kallas Suzuki-grupper . Rea noterade att de kan konstrueras från grupper av typ B 2 med en variant av Steinbergs konstruktion [7] . Ree insåg att en liknande konstruktion kunde tillämpas på Dynkin-diagrammen F 4 och G 2 , vilket leder till två nya familjer av ändliga enkla grupper|.

Ree-grupper av typ 2 G 2

Ree-grupper av typ 2 G 2 (3 2 n +1 ) introducerades av Ree [1] , som visade att de alla är enkla förutom den första gruppen 2 G 2 (3), som är isomorf till automorfismgruppen SL 2 (8) . Wilson [8] gav en förenklad konstruktion av Ree-grupper som automorfismer av ett 7-dimensionellt vektorrum över ett fält med 3 2 n +1 element som bevarar den bilinjära formen, den trilinjära formen och den bilinjära produkten.

Ree-gruppen har ordning , var $q^{3}(q^{3}+1)(q-1)$ $q=3^{2n+1}$

Schur-multiplikatorn är trivial för n ≥ 1 och för 2 G 2 (3).

Den yttre automorfismgruppen är cyklisk och har ordning. $2n+1$

Ree-gruppen betecknas ibland som Ree( q ), R( q ) eller $\mathrm {E} _{2}^{*}(q)$

Ree-gruppen har en dubbel transitiv permutationsrepresentation på punkter och fungerar som automorfismer av Steiner-systemet . Den verkar också på ett 7-dimensionellt vektorrum över ett fält med q element, som är en undergrupp av G 2 ( q ). $^{2}\mathrm {G} _{2}(q)$ $q^{3}+1$ $\mathrm {S} (2,q+1,q^{3}+1)$

Ree-gruppernas 2-Sylow-undergrupper är Abelian med ordning 8. Walters teorem visar att endast andra icke-Abelska ändliga enkla grupper med Abelian Sylow 2-undergrupper är projektiva speciallinjära grupper i dimension 2 och Janko-grupperna J1 . Dessa grupper spelade också en roll i upptäckten av den första moderna sporadiska gruppen. De har involutionscentraliserare av formen Z /2 Z × PSL 2 ( q ) och i studien av grupper med en liknande involutionscentraliserare hittade Janko den sporadiska gruppen J 1 . Kleidman [9] upptäckte deras maximala undergrupper. $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \times \mathrm {PSL} _{2}(5)$

Ree-grupper av typ 2 G 2 är extremt svåra att beskriva. Thompson [10] [11] [12] studerade detta problem och kunde visa att strukturen för en sådan grupp bestäms av någon automorfism av ett ändligt fält med karakteristik 3, och om kvadraten på denna automorfism är en Frobenius automorfism, då är gruppen en Ree-grupp. Han gav också några knepiga villkor som en automorfism uppfyller . Slutligen använde Bombieri [13] uteslutningsteori för att visa att Thompsons villkor innebär att i alla utom 178 små fall som var datoreliminerade ( Andrew Odlyzko och Hunt). Bombieri blev medveten om detta problem genom att läsa en artikel om Gorensteins klassificering [14] , som föreslog att någon utifrån, inte en gruppteoretiker, skulle hjälpa till att lösa problemet. Angear [15] gav en kombinerad sammanfattning av Thompson och Bombieris lösning på detta problem. $\sigma$ $\sigma$ $\sigma ^{2}=3$

Ree-grupper av typ 2 F 4

Grupper av Ree-typ introducerades av Ree [2] . De är enkla, förutom den första , för vilken Tits [16] visade att den har en enkel undergrupp av index 2, som nu är känd som Tits-gruppen . Wilson [17] gav en förenklad konstruktion av Ree-grupper som en symmetri av ett 26-dimensionellt utrymme över ett ordningsfält 2 2 n +1 som bevarar kvadratisk form, kubisk form och partiell multiplikation. $^{2}\mathrm {F} _{4}(2^{2n+1})$ $^{2}\mathrm {F} _{4}(2)$

Ree-gruppen har ordningen där . Schur-multiplikatorn är trivial. Den yttre automorfismgruppen är cyklisk med ordning . $^{2}\mathrm {F} _{4}(2^{2n+1})$ $q^{12}$ $(q^{6}+1)$ $(q^{4}-1)$ $(q^{3}+1)$ $(q-1)$ $q=2^{2n+1}$ $2n+1$

Dessa Ree-grupper har ovanliga egenskaper, så att Coxeter-gruppen i paret (B, N) inte är kristallografisk – det är en dihedrisk grupp av ordningen 16. Titar [18] visade att alla Moufang-polygoner erhålls från Ree-grupper av typ . ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4))$

Se även

Lista över ändliga enkla grupper

Anteckningar

↑ 12 Ree , 1960 .
↑ 12 Ree , 1961 .
↑ Tits, 1960 .
↑ Tits, 1989 .
↑ Hee, 1990 .
↑ Suzuki, 1960 .
↑ Steinberg, 1959 .
↑ Wilson, 2010 .
↑ Kleidman, 1988 .
↑ Thompson, 1967 .
↑ Thompson, 1972 .
↑ Thompson, 1977 .
↑ Bombieri, 1980 .
↑ Gorenstein, 1979 .
↑ Enguehard, 1986 .
↑ Tits, 1964 .
↑ Wilson, 2010b .
↑ Tits, 1983 .

Litteratur

Roger W. Carter. Enkla grupper av lögntyp. - New York: John Wiley & Sons , 1989. - (Wiley Classics Library). - ISBN 978-0-471-50683-6 .
Enrico Bombieri . Thompsons problem (σ²=3) // Inventiones Mathematicae . - 1980. - T. 58 , nr. 1 . - S. 77-100 . — ISSN 0020-9910 . - doi : 10.1007/BF01402275 .
Michel Enguehard. Caractérisation des groupes de Ree // Asterisque. - 1986. - Utgåva. 142 . - S. 49-139 . — ISSN 0303-1179 .
Gorenstein D. Klassificeringen av ändliga enkla grupper. I. Enkla grupper och lokal analys // American Mathematical Society. Bulletin. ny serie. - 1979. - Vol. 1 , nummer. 1 . - S. 43-199 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 .
Jean Yves. Construction de groupes tordus en théorie de Kac-Moody // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Serie I. Mathematique. - 1990. - T. 310 , nr. 3 . - S. 77-80 . — ISSN 0764-4442 .
Peter B. Kleidman. De maximala undergrupperna av Chevalley-grupperna med udda q, Ree-grupperna och deras automorfismgrupper $G_{2}(q)$ $^{2}G_{2}(q)$ // Journal of Algebra . - 1988. - T. 117 , nr. 1 . - S. 30-71 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90239-6 .
Rimhak Ree. En familj av enkla grupper associerade med den enkla Lie-algebra av typen ( G 2 ) // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1960. - Vol. 66 . - P. 508-510 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10523-X .
Rimhak Ree. En familj av enkla grupper associerade med den enkla Lie-algebra av typen (F 4) // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1961. - Vol. 67 . - S. 115-116 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10527-2 .
Robert Steinberg . Variationer på ett tema av Chevalley // Pacific Journal of Mathematics . - 1959. - T. 9 . - S. 875-891 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1959.9.875 .
Robert Steinberg . Föreläsningar om Chevalley-grupper . - Yale University, New Haven, Connecticut, 1968. Arkiverad10 september 2012 påWayback Machine
Robert Steinberg . Endomorfismer av linjära algebraiska grupper . - Providence, RI: American Mathematical Society , 1968. - (Memoirs of the American Mathematical Society, nr 80).
Michio Suzuki . En ny typ av enkla grupper av ändlig ordning // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1960. - T. 46 . - S. 868-870 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.46.6.868 . — PMID 16590684 . — .
John G. Thompson . Mot en karakterisering av E 2 *(q) // Journal of Algebra . - 1967. - T. 7 . - S. 406-414 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(67)90080-4 .
John G. Thompson . Mot en karakterisering av E2 * (q) . II // Journal of Algebra . - 1972. - T. 20 . - S. 610-621 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(72)90074-9 .
John G. Thompson . Mot en karakterisering av E2 * (q) . III // Journal of Algebra . - 1977. - T. 49 , nr. 1 . - S. 162-166 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(77)90276-9 .
Jacques Tits. Seminaire Bourbaki, vol. 6 . - Paris: Société Mathématique de France , 1960. - S. 65-82.
Jacques Tits. Algebraiska och abstrakta enkla grupper // Annals of Mathematics . - 1964. - T. 80 . - S. 313-329 . — ISSN 0003-486X . — .
Jacques Tits. Moufang-oktagoner och Ree-grupperna av typ ²F₄ // American Journal of Mathematics . - 1983. - T. 105 , nr. 2 . - S. 539-594 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2374268 .
Jacques Tits. Groupes associés aux algèbres de Kac-Moody // Astérisque. - 1989. - Utgåva. 177 . - S. 7-31 . — ISSN 0303-1179 .
Robert A. Wilson. Ytterligare ett nytt förhållningssätt till de små Ree-grupperna // Archiv der Mathematik. - 2010. - T. 94 , nr. 6 . - S. 501-510 . — ISSN 0003-9268 . - doi : 10.1007/s00013-010-0130-4 .
Robert A. Wilson. En enkel konstruktion av Ree-grupperna av typ ²F₄ // Journal of Algebra . — 2010b. - T. 323 , nr. 5 . - S. 1468-1481 . — ISSN 0021-8693 . doi : 10.1016 / j.jalgebra.2009.11.015 .

Länkar

ATLAS: Ree group R(27) Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine