Bröstgrupp

Titsgruppen J 2 , uppkallad efter Jacques Tits , är en finit enkel grupp av ordningen 2 11  • 3 3  • 5 2  • 13 = 17971200 ≈ 2⋅10 7 .

Gruppen anses ibland vara den 27:e sporadiska gruppen .

Historik och egenskaper

Ree 2 F 4 (2 2 n +1 ) grupperna konstruerades av Rimhak Ree [1] . Han visade att dessa grupper är enkla om n  ≥ 1. Den första termen i denna sekvens 2 F 4 (2) är inte enkel. Gruppen studerades av Jacques Tits [2] och visade att den är nästan enkel , dess kommutant 2 F 4 (2)′ med index 2 är en annan enkel grupp, som nu kallas "Tits group". Gruppen 2 F 4 (2) är en grupp av Lie-typ och har ett par (B, N) , men själva bröstgruppen har inte ett par (B, N) . Eftersom bröstgruppen strikt inte är en grupp av lögntyp, anses den ibland vara den 27:e sporadiska gruppen [3]

Schur-multiplikatorn för Tits-gruppen är trivial, dess yttre automorfismgrupp har ordning 2, och dess fulla automorfismgrupp är gruppen 2 F 4 (2).

Tits-gruppen är en maximal undergrupp av Fischer-gruppen Fi22 . Gruppen 2 F 4 (2) är också en maximal undergrupp av Rudvalis-gruppen som en punktstabilisatorpermutationsverkan av rang 3 på 4060 = 1 + 1755 + 2304 poäng.

Titsgruppen är en av de enkla N-grupperna och utelämnades av John G. Thompson i den första rapporten om klassificeringen av enkla N-grupper, eftersom gruppen ännu inte hade upptäckts.

Gruppen är också en av de tunna grupperna .

Tits-gruppen beskrevs på olika sätt av Parrot 1972/73 [4] [5] och Stroth [6] .

Visningar

Tits-gruppen kan definieras i termer av generatorer och relationer

där [ a ,  b ] är kommutatorn . Den har en yttre automorfism , som erhålls genom att översätta ( a ,  b ) till ( a ,  bbabababababbababababa ).

Maximala undergrupper

Wilson [7] och Chakerian [8] hittade oberoende 8 klasser av maximala undergrupper av bröstgruppen:

L 3 (3):2 Två klasser förbundna med en yttre automorfism. Dessa undergrupper lämnar rang-4-punkterna för permutationsrepresentationerna fixerade.

2.[2 8 ].5.4 Involutionscentraliserare.

L 2 (25)

2 2 .[2 8 ].S 3

A 6 .2 2 (Två klasser relaterade till yttre automorfism)

5 2 :4A 4

Anteckningar

1. ↑ Ree, 1961 .
2. ↑ Tits, 1964 .
3. ↑ Till exempel i boken "ATLAS of Finite Groups" och dess WEB-version Arkiverad 8 januari 2012 på Wayback Machine
4. ↑ Parrott, 1972 .
5. ↑ Parrott, 1973 .
6. ↑ Stroth, 1980 .
7. ↑ Wilson, 1984 .
8. ↑ Tchakerian, 1986 .

Litteratur

• Parrott D. En karaktärisering av bröstens enkla grupp  // Canadian Journal of Mathematics . - 1972. - T. 24 . — S. 672–685 . — ISSN 0008-414X . - doi : 10.4153/cjm-1972-063-0 .
• Parrott D. En karakterisering av Ree-grupperna 2 F 4 (q) // Journal of Algebra . - 1973. - T. 27 . — S. 341–357 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(73)90109-9 .
• Ree R. En familj av enkla grupper associerade med den enkla Lie-algebra av typen (F 4 )  // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1961. - T. 67 . — S. 115–116 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10527-2 .
• Stroth G. En allmän karaktärisering av den enkla bröstgruppen // Journal of Algebra . - 1980. - T. 64 , nr. 1 . — S. 140–147 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(80)90138-6 .
• Tchakerian KB De maximala undergrupperna av den enkla bröstgruppen // Pliska Studia Mathematica Bulgarica . - 1986. - T. 8 . — S. 85–93 . — ISSN 0204-9805 .
• Tits J. Algebraiska och abstrakta enkla grupper  // Annals of Mathematics. Andra serien . - 1964. - T. 80 . — S. 313–329 . — ISSN 0003-486X . — .
• Wilson RA Geometrin och maximala undergrupper av de enkla grupperna A. Rudvalis och J. Tits // Proceedings of the London Mathematical Society . tredje serien. - 1984. - T. 48 , nr. 3 . — S. 533–563 . — ISSN 0024-6115 . - doi : 10.1112/plms/s3-48.3.533 .

Länkar

• ATLAS of Group Representations - The Tits Group Arkiverad 16 juli 2011 på Wayback Machine