N-grupp (gruppteori)

En N-grupp är en grupp vars alla lokala undergrupper (det vill säga normaliserare av icke-triviala p - undergrupper) är lösbara . Thompson klassificerade de oavgörbara fallen medan han arbetade med att hitta alla minimala ändliga enkla grupper.

Enkla N-grupper

Enkla N-grupper klassificerades av Thompson [1] [2] [3] [4] [5] [6] i en serie av 6 artiklar på totalt cirka 400 sidor.

Enkla N-grupper består av speciella linjära grupper , Suzuki-grupper , enhetsgrupp , alternerande grupp A 7 , Mathieu-grupp M 11 och bröstgrupp . (The Tits-gruppen uteslöts i Thompsons originaltidning 1968, men Hearn påpekade att det också är en enkel N-grupp). Mer generellt visade Thompson att vilken icke-löslig N-grupp som helst är en undergrupp av Aut( G ) som innehåller G för någon enkel N- grupp G. $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {PSL} _{3}(3)$ $\mathrm {Sz} (2^{2n+1})$ $\mathrm {U} _{3}(3)$

Gorenstein och Lyons [7] generaliserade Thompsons teorem till fallet med grupper vars alla 2-lokala undergrupper är lösbara. De enda enkla grupperna som läggs till är enhetsgrupperna U 3 ( q ).

Bevis

Gorenstein [8] ger en sammanfattning av Thompsons klassificering av N-grupper.

Primtalen som delar gruppordningen är indelade i fyra klasser ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4))$

$\pi_{1}$ är uppsättningen av primtal p så att Sylow p -undergruppen är icke-trivial och cyklisk.
$\pi _{2}$ är uppsättningen av primtal p så att Sylow p -undergruppen av P är icke-cyklisk men SCN 3 ( P ) är tom
$\pi _{3}$ är uppsättningen av primtal p så att Sylow p -undergruppen P har en icke-tom SCN 3 ( P ) och P normaliserar en icke-trivial Abelisk undergrupp av ordningen coprime till p .
${\displaystyle \pi _{4))$ är uppsättningen av primtal p så att Sylow p -undergruppen P har en icke-tom SCN 3 ( P ) men inte normaliserar en icke-trivial Abelian subgrupp av ordningen coprime till p .

Beviset är uppdelat i flera fall, beroende på vilken av dessa fyra klasser primtal 2 tillhör, samt på heltal e , som är det största heltal för vilket det finns en elementär abelisk undergrupp av rang e normaliserad med en icke-trivial 2-undergrupp.

1968 Thompson [1] gav en allmän introduktion, som angav huvudsatsen och bevisade preliminära lemman.
1970 Thompson [2] beskrev grupperna E 2 (3) och S 4 (3) (i Thompsons notation är dessa den exceptionella gruppen G 2 (3) och den symplektiska gruppen Sp 4 (3)), som inte är N- grupper, men deras beskrivning är nödvändig för att bevisa huvudsatsen.
1971 Thompson [3] övervägde fallet . Sats 11.2 visar att om gruppen är en grupp eller . Möjligheten utesluts genom att visa att en sådan grupp måste vara en C-grupp, och med Suzukis klassificering av C-grupper, verifieras det att ingen av grupperna som Suzuki hittat uppfyller detta villkor. ${\displaystyle 2\notin \pi _{4))$ ${\displaystyle 2\in \pi _{2))$ $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {M} _{11},A_{7},\mathrm {U} _{3}(3)$ $\mathrm {PSL} _{3}(3)$ ${\displaystyle 2\in \pi _{3))$
1973 Thompson [4] [5] övervägde fallen av och eller . Han visade att antingen G är en C-grupp , så det är en Suzuki-grupp, eller så uppfyller den beskrivningen av grupperna E 2 (3) och S 4 (3) i hans andra artikel, som inte är N-grupper. ${\displaystyle 2\in \pi _{4))$ $e\geqslant 3$ $e=2$
1974 Thompson [5] övervägde fallet och e =1, där det enda möjliga fallet är att G är en C-grupp eller en Tits-grupp . ${\displaystyle 2\notin \pi _{4))$

Konsekvenser

En minimal enkel grupp är en icke-cyklisk enkel grupp vars alla rätta undergrupper är lösbara. En komplett lista över minimala enkla grupper gavs av Thompson [9]

PSL 2 (2 p ), p är primtal.
PSL 2 (3 p ), p är ett udda primtal.
PSL 2 ( p ), p > 3 prime, jämförbar med 2 eller 3 mod 5
Sz(2 p ), p är ett udda primtal.
PSL 3 (3)

Med andra ord måste icke-cykliska ändliga enkla grupper ha en subfaktor som är isomorf till en av dessa grupper.

Anteckningar

↑ 12 Thompson , 1968 .
↑ 12 Thompson , 1970 .
↑ 12 Thompson , 1971 .
↑ 12 Thompson , 1973 .
↑ 1 2 3 Thompson, 1974 .
↑ Thompson, 1974b .
↑ Gorenstein, Lyons, 1976 .
↑ Gorenstein, 1980 , sid. 16.5.
↑ Thompson, 1968 , sid. följd 1.

Litteratur

Gorenstein D., Lyons R. Olösbara finita grupper med lösbara 2-lokala undergrupper // Journal of Algebra . - 1976. - T. 38 . — S. 453–522 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(76)90233-7 .
Gorenstein D. Finita grupper. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
John G. Thompson. Olösbara ändliga grupper vars alla lokala undergrupper är lösbara // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1968. - T. 74 . — S. 383–437 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11953-6 .
John G. Thompson. Olösbara finita grupper vars alla lokala undergrupper är lösbara. II // Pacific Journal of Mathematics . - 1970. - T. 33 . — S. 451–536 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1970.33.451 .
John G. Thompson. Olösbara finita grupper vars alla lokala undergrupper är lösbara. III // Pacific Journal of Mathematics . - 1971. - T. 39 . — S. 483–534 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1971.39.483 .
John G. Thompson. Olösbara finita grupper vars alla lokala undergrupper är lösbara. IV // Pacific Journal of Mathematics . - 1973. - T. 48 . — S. 511–592 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1973.48.511 .
John G. Thompson. Olösbara finita grupper vars alla lokala undergrupper är lösbara. V // Pacific Journal of Mathematics . - 1974. - T. 50 . — S. 215–297 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.50.215 .
John G. Thompson. Olösbara finita grupper vars alla lokala undergrupper är lösbara. VI // Pacific Journal of Mathematics . — 1974b. - T. 51 . — S. 573–630 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.51.573 .