N-grupp (gruppteori)
En N-grupp är en grupp vars alla lokala undergrupper (det vill säga normaliserare av icke-triviala p - undergrupper) är lösbara . Thompson klassificerade de oavgörbara fallen medan han arbetade med att hitta alla minimala ändliga enkla grupper.
Enkla N-grupper
Enkla N-grupper klassificerades av Thompson [1] [2] [3] [4] [5] [6] i en serie av 6 artiklar på totalt cirka 400 sidor.
Enkla N-grupper består av speciella linjära grupper , Suzuki-grupper , enhetsgrupp , alternerande grupp A 7 , Mathieu-grupp M 11 och bröstgrupp . (The Tits-gruppen uteslöts i Thompsons originaltidning 1968, men Hearn påpekade att det också är en enkel N-grupp). Mer generellt visade Thompson att vilken icke-löslig N-grupp som helst är en undergrupp av Aut( G ) som innehåller G för någon enkel N- grupp
G.

Gorenstein och Lyons [7] generaliserade Thompsons teorem till fallet med grupper vars alla 2-lokala undergrupper är lösbara. De enda enkla grupperna som läggs till är enhetsgrupperna U 3 ( q ).
Bevis
Gorenstein [8] ger en sammanfattning av Thompsons klassificering av N-grupper.
Primtalen som delar gruppordningen är indelade i fyra klasser
är uppsättningen av primtal p så att Sylow p -undergruppen är icke-trivial och cyklisk.
är uppsättningen av primtal p så att Sylow p -undergruppen av P är icke-cyklisk men SCN 3 ( P ) är tom
är uppsättningen av primtal p så att Sylow p -undergruppen P har en icke-tom SCN 3 ( P ) och P normaliserar en icke-trivial Abelisk undergrupp av ordningen coprime till p .
är uppsättningen av primtal p så att Sylow p -undergruppen P har en icke-tom SCN 3 ( P ) men inte normaliserar en icke-trivial Abelian subgrupp av ordningen coprime till p .
Beviset är uppdelat i flera fall, beroende på vilken av dessa fyra klasser primtal 2 tillhör, samt på heltal e , som är det största heltal för vilket det finns en elementär abelisk undergrupp av rang e normaliserad med en icke-trivial 2-undergrupp.
- 1968 Thompson [1] gav en allmän introduktion, som angav huvudsatsen och bevisade preliminära lemman.
- 1970 Thompson [2] beskrev grupperna E 2 (3) och S 4 (3) (i Thompsons notation är dessa den exceptionella gruppen G 2 (3) och den symplektiska gruppen Sp 4 (3)), som inte är N- grupper, men deras beskrivning är nödvändig för att bevisa huvudsatsen.
- 1971 Thompson [3] övervägde fallet . Sats 11.2 visar att om gruppen är en grupp eller . Möjligheten utesluts genom att visa att en sådan grupp måste vara en C-grupp, och med Suzukis klassificering av C-grupper, verifieras det att ingen av grupperna som Suzuki hittat uppfyller detta villkor.





- 1973 Thompson [4] [5] övervägde fallen av och eller . Han visade att antingen G är en C-grupp , så det är en Suzuki-grupp, eller så uppfyller den beskrivningen av grupperna E 2 (3) och S 4 (3) i hans andra artikel, som inte är N-grupper.



- 1974 Thompson [5] övervägde fallet och e =1, där det enda möjliga fallet är att G är en C-grupp eller en Tits-grupp .

Konsekvenser
En minimal enkel grupp är en icke-cyklisk enkel grupp vars alla rätta undergrupper är lösbara. En komplett lista över minimala enkla grupper gavs av Thompson [9]
- PSL 2 (2 p ), p är primtal.
- PSL 2 (3 p ), p är ett udda primtal.
- PSL 2 ( p ), p > 3 prime, jämförbar med 2 eller 3 mod 5
- Sz(2 p ), p är ett udda primtal.
- PSL 3 (3)
Med andra ord måste icke-cykliska ändliga enkla grupper ha en subfaktor som är isomorf till en av dessa grupper.
Anteckningar
- ↑ 12 Thompson , 1968 .
- ↑ 12 Thompson , 1970 .
- ↑ 12 Thompson , 1971 .
- ↑ 12 Thompson , 1973 .
- ↑ 1 2 3 Thompson, 1974 .
- ↑ Thompson, 1974b .
- ↑ Gorenstein, Lyons, 1976 .
- ↑ Gorenstein, 1980 , sid. 16.5.
- ↑ Thompson, 1968 , sid. följd 1.
Litteratur