Permutationsgrupp av rang 3

Rang 3-permutationsgruppen verkar transitivt på setet så att punktstabilisatorn har 3 banor [1] . Studien av dessa grupper initierades av Donald Higman [2] [3] . Vissa sporadiska enkla grupper har upptäckts som permutationsgrupper av rang 3.

Klassificering

Primitiva permutationsgrupper av rang 3 faller i följande klasser:

Cameron [4] klassificerade grupper så att , där socle T av T 0 är enkel och T 0 är en 2-transitiv grupp av grad . $T\times T\leqslant G\leqslant T_{0}\operatörsnamn {wr} Z/2Z$ ${\sqrt {n}}$
Liebeck [5] klassificerade grupper med vanliga elementära abelska normala undergrupper
Bannay [6] klassificerade grupper vars socle är en enkel alternerande grupp
Cantor [7] klassificerade grupper vars socle är en enkel klassisk grupp
Liebeck och Saxl [8] klassificerade grupper vars socle är en enkel klassisk exceptionell eller sporadisk grupp

Exempel

Om G är någon 4-transitiv grupp som verkar på en mängd S , då är dess verkan på par av element i S en permutationsgrupp av rang 3 [9] . I synnerhet har de flesta alternerande grupper, symmetriska grupper och Mathieu-grupper 4-transitiva handlingar och tillhör därför rangordnade 3 permutationsgrupper.

En projektiv komplett linjär grupp som verkar på linjer i ett projektivt utrymme med dimensionen minst 3 är en permutationsgrupp av rang 3.

Vissa 3-permutationsgrupper är permutationsgrupper av rang 3 (genom verkan på permutationerna).

Typiskt är en punktstabilisator av en permutationsgrupp av rang 3 som verkar på en av banorna en permutationsgrupp av rang 3. Detta ger några "kedjor" av permutationsgrupper av rang 3, såsom Suzuki-kedjan och kedjan som slutar med Fisher grupper .

Några ovanliga permutationsgrupper av rang 3 listas nedan (många av dem är hämtade från Liebeck och Saxl [8] ).

För varje rad i tabellen nedan, i kolumnen "storlek", är siffran till vänster om tecknet lika med permutationsgruppsexponenten [10] för permutationsgruppen för permutationsgruppen som nämns i raden. Summan till höger om likhetstecknet visar längden på de tre banorna för permutationsgrupppunktens stabilisatorer. Till exempel betyder uttrycket 15 = 1+6+8 i den första raden i tabellen att permutationsgruppen har ett index på 15 och längden på de tre banorna för stabilisatorerna för permutationsgruppens punkt är 1, 6 och 8, respektive.

Grupp	Punktstabilisator	storleken	Kommentarer
$\mathrm {A} _{6}=\mathrm {L} _{2}(9)=$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{4}(2)^{\prime }=\mathrm {M} _{1}0^{\prime ))$	${\displaystyle \mathrm {S} _{4))$	15 = 1+6+8	Par av punkter eller uppsättningar av 3 block av 2 i en 6-punkts permutationsrepresentation; två klasser
$\mathrm {A} _{9}$	$\mathrm {L} _{2}(8):3$	120 = 1+56+63	Projektiv linje P 1 (8); två klasser
$\mathrm {A} _{10}$	$(\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}):4$	126 = 1+25+100	Set med 2 block om 5 i naturlig 10-punkts permutationsrepresentation
$\mathrm {L} _{2}(8)$	$7:2=\mathrm {Dih} (7)$	36 = 1+14+21	Poängpar i P 1 (8)
$\mathrm {L} _{3}(4)$	$\mathrm {A} _{6}$	56 = 1+10+45	Hyperovaler i P2 ( 4 ); tre klasser
$\mathrm {L} _{4}(3)$	$\mathrm {PSp} _{4}(3):2$	117 = 1+36+80	Symplektiska polariteter P3 ( 3 ); två klasser
$\mathrm {G} _{2}(2)^{\prime }=\mathrm {U} _{3}(3)$	$\mathrm {PSL} _{3}(2)$	36 = 1+14+21	Suzuki kedja
$\mathrm {U} _{3}(5)$	${\displaystyle \mathrm {A} _{7))$	50 = 1+7+42	Handling på hörnen av Hoffman-Singleton-grafen ; tre klasser
$\mathrm {U} _{4}(3)$	$\mathrm {L} _{3}(4)$	162 = 1+56+105	två klasser
$\mathrm {Sp} _{6}(2)$	$\mathrm {G} _{2}(2)=\mathrm {U} _{3}(3):2$	120 = 1+56+63	Chevalley-grupp av typ G 2 som verkar på oktonionalgebra över GF(2)
$\mathrm {\Omega } _{7}(3)$	$\mathrm {G} _{2}(3)$	1080 = 1+351+728	Chevalley-grupp av typ G 2 som verkar på de imaginära oktonjonerna i oktonjonalgebra över GF(3); två klasser
$\mathrm {U} _{6}(2)$	${\displaystyle \mathrm {U} _{4}(3):2_{2))$	1408 = 1+567+840	Punktstabilisatorn är bilden av den linjära representationen som resulterar från att "sänka" den komplexa representationen av Mitchell-gruppen (den komplexa reflektionsgruppen) modulo 2; tre klasser
M11 _	$\mathrm {M} _{9}:2=3^{2}:\mathrm {SD} _{16}$	55 = 1+18+36	Punktpar i 11-punkts permutationsrepresentation
M12 _	$\mathrm {M} _{10}:2=\mathrm {A} _{6}.2^{2}=$ $\mathrm {P{\Gamma }L} (2,9)$	66 = 1+20+45	Par av punkter eller par av komplementära block S(5,6,12) i en 12-punkts permutationsrepresentation; två klasser
M22 _	2 4 :A 6	77 = 1+16+60	Block S(3,6,22)
J2 _	$\mathrm {U} _{3}(3)$	100 = 1+36+63	Suzuki-kedja ; åtgärd på hörnen av Hall-grafen - Janko
Higman Group - Sims HS	M22 _	100 = 1+22+77	Action på hörn av greve Higman - Sims
M22 _	${\displaystyle \mathrm {A} _{7))$	176 = 1+70+105	två klasser
M23 _	$\mathrm {M} _{21}:$ ${\displaystyle 2=\mathrm {L} _{3}(4):2_{2))$ $=\mathrm {P{\Sigma }L} (3,4)$	253 = 1+42+210	Punktpar i 23-punkts permutationsrepresentation
M23 _	$2^{4}:\mathrm {A} _{7}$	253 = 1+112+140	Block S(4,7,23)
McLaughlin Group McL	$\mathrm {U} _{4}(3)$	275 = 1+112+162	Action på toppen av greve McLaughlin
M24 _	$\mathrm {M} _{22}:2$	276 = 1+44+231	Punktpar i 24-punkts permutationsrepresentation
G2 ( 3 )	$\mathrm {U} _{3}(3):2$	351 = 1+126+244	två klasser
G2 ( 4 )	J2 _	416 = 1+100+315	Suzuki kedja
M24 _	$\mathrm {M} _{12}:2$	1288 = 1+495+792	Par av kompletterande 12-punktsuppsättningar i en 24-punkts permutationsrepresentation
Suzuki Group Suz	$\mathrm {G} _{2}(4)$	1782 = 1+416+1365	Suzuki kedja
G2 ( 4 )	$\mathrm {U} _{3}(4):2$	2016 = 1+975+1040
Co 2	$\mathrm {PSU} _{6}(2):2$	2300 = 1+891+1408
Rudvalis Group Ru	2 F 4 (2)	4060 = 1+1755+2304
Fi 22	$2.\mathrm {PSU} _{6}(2)$	3510 = 1+693+2816	3-permutationer
Fi 22	$\mathrm {\Omega } _{7}(3)$	14080 = 1+3159+10920	två klasser
Fi 23	2.Fi22 _ _	31671 = 1+3510+28160	3-permutationer
$\mathrm {G} _{2}(8).3$	$\mathrm {SU} _{3}(8).6$	130816 = 1+32319+98496
Fi 23	${\displaystyle \mathrm {P\Omega } _{8}^{+}(3).\mathrm {S} _{3))$	137632 = 1+28431+109200
Fi 24 '	fi 23	306936 = 1+31671+275264	3-permutationer

Anteckningar

↑ Inte att förväxla med 3-permutationsgruppen, som representerar permutationer av tre element. På ryska är namnen på grupperna nästan desamma, på engelska kallas den första rank 3 permutation group , den andra är 3-transposition group .
↑ Higman, 1964 .
↑ Higman, 1971 .
↑ Cameron, 1981 .
↑ Liebeck, 1987 .
↑ Bannai, 1971–72 .
↑ Kantor, Liebler, 1982 .
↑ 1 2 Liebeck, Saxl, 1986 .
↑ . De tre banorna är: det fasta paret i sig; par som har ett gemensamt element med ett fast par; par som inte har några gemensamma element med ett fast par.
↑ När man diskuterar en permutationsgrupp på en mängd av n element är exponenten för gruppen antalet element i mängden, d.v.s. n . Ej att förväxla med gruppordning. Om G är en allmän grupp, låt beteckna den minsta , så att G är isomorf till en undergrupp av den symmetriska gruppen S . Numret kallas G -gruppens exponent ( Berkovich 1999 ). Se även Permutationsgrupp . $\delta (G)$ $n\in \mathbb {N}$ $\delta (G)$

Litteratur

Eiichi Bannai. Maximala undergrupper av låg rang av finita symmetriska och alternerande grupper // Tidskrift för naturvetenskapliga fakulteten. Tokyos universitet. Avsnitt IA. Matematik. — 1971–72. - T. 18 . — S. 475–486 . — ISSN 0040-8980 .
Brouwer AE, Cohen AM, Neumaier A. Avstånd-reguljära grafer. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1989. - Vol. 18. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultater i matematik och relaterade områden (3)]). - ISBN 978-3-540-50619-5 .
Peter J. Cameron. Finita permutationsgrupper och finita enkla grupper // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1981. - T. 13 , nr. 1 . — S. 1–22 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/13.1.1 .
Donald G. Higman. Finita permutationsgrupper av rang 3 // Mathematische Zeitschrift . - 1964. - T. 86 . — S. 145–156 . — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01111335 .
Donald G. Higman. En undersökning av några frågor och resultat om rang 3 permutationsgrupper // Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) . - Gauthier-Villars, 1971. - T. 1. - S. 361-365. Arkiverad 25 november 2017 på Wayback Machine
William M. Kantor, Robert A. Liebler. Rang 3 permutationsrepresentationer av de finita klassiska grupperna // Transactions of the American Mathematical Society . - 1982. - T. 271 , nr. 1 . — S. 1–71 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.2307/1998750 .
Martin W. Liebeck. De affina permutationsgrupperna av rang tre // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 54 , nr. 3 . — S. 477–516 . — ISSN 0024-6115 . - doi : 10.1112/plms/s3-54.3.477 .
Martin W. Liebeck, Jan Saxl. De ändliga primitiva permutationsgrupperna av rang tre // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1986. - T. 18 , nr. 2 . — S. 165–172 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/18.2.165 .
Yakov Berkovich. The Degree and Index of a Finite Group // Journal of Algebra. - 1999. - T. 214, . - S. 740-761 . (inte tillgänglig länk)