Rang 3-permutationsgruppen verkar transitivt på setet så att punktstabilisatorn har 3 banor [1] . Studien av dessa grupper initierades av Donald Higman [2] [3] . Vissa sporadiska enkla grupper har upptäckts som permutationsgrupper av rang 3.
Primitiva permutationsgrupper av rang 3 faller i följande klasser:
Om G är någon 4-transitiv grupp som verkar på en mängd S , då är dess verkan på par av element i S en permutationsgrupp av rang 3 [9] . I synnerhet har de flesta alternerande grupper, symmetriska grupper och Mathieu-grupper 4-transitiva handlingar och tillhör därför rangordnade 3 permutationsgrupper.
En projektiv komplett linjär grupp som verkar på linjer i ett projektivt utrymme med dimensionen minst 3 är en permutationsgrupp av rang 3.
Vissa 3-permutationsgrupper är permutationsgrupper av rang 3 (genom verkan på permutationerna).
Typiskt är en punktstabilisator av en permutationsgrupp av rang 3 som verkar på en av banorna en permutationsgrupp av rang 3. Detta ger några "kedjor" av permutationsgrupper av rang 3, såsom Suzuki-kedjan och kedjan som slutar med Fisher grupper .
Några ovanliga permutationsgrupper av rang 3 listas nedan (många av dem är hämtade från Liebeck och Saxl [8] ).
För varje rad i tabellen nedan, i kolumnen "storlek", är siffran till vänster om tecknet lika med permutationsgruppsexponenten [10] för permutationsgruppen för permutationsgruppen som nämns i raden. Summan till höger om likhetstecknet visar längden på de tre banorna för permutationsgrupppunktens stabilisatorer. Till exempel betyder uttrycket 15 = 1+6+8 i den första raden i tabellen att permutationsgruppen har ett index på 15 och längden på de tre banorna för stabilisatorerna för permutationsgruppens punkt är 1, 6 och 8, respektive.
Grupp | Punktstabilisator | storleken | Kommentarer |
---|---|---|---|
15 = 1+6+8 | Par av punkter eller uppsättningar av 3 block av 2 i en 6-punkts permutationsrepresentation; två klasser | ||
120 = 1+56+63 | Projektiv linje P 1 (8); två klasser | ||
126 = 1+25+100 | Set med 2 block om 5 i naturlig 10-punkts permutationsrepresentation | ||
36 = 1+14+21 | Poängpar i P 1 (8) | ||
56 = 1+10+45 | Hyperovaler i P2 ( 4 ); tre klasser | ||
117 = 1+36+80 | Symplektiska polariteter P3 ( 3 ); två klasser | ||
36 = 1+14+21 | Suzuki kedja | ||
50 = 1+7+42 | Handling på hörnen av Hoffman-Singleton-grafen ; tre klasser | ||
162 = 1+56+105 | två klasser | ||
120 = 1+56+63 | Chevalley-grupp av typ G 2 som verkar på oktonionalgebra över GF(2) | ||
1080 = 1+351+728 | Chevalley-grupp av typ G 2 som verkar på de imaginära oktonjonerna i oktonjonalgebra över GF(3); två klasser | ||
1408 = 1+567+840 | Punktstabilisatorn är bilden av den linjära representationen som resulterar från att "sänka" den komplexa representationen av Mitchell-gruppen (den komplexa reflektionsgruppen) modulo 2; tre klasser | ||
M11 _ | 55 = 1+18+36 | Punktpar i 11-punkts permutationsrepresentation | |
M12 _ | 66 = 1+20+45 | Par av punkter eller par av komplementära block S(5,6,12) i en 12-punkts permutationsrepresentation; två klasser | |
M22 _ | 2 4 :A 6 | 77 = 1+16+60 | Block S(3,6,22) |
J2 _ | 100 = 1+36+63 | Suzuki-kedja ; åtgärd på hörnen av Hall-grafen - Janko | |
Higman Group - Sims HS | M22 _ | 100 = 1+22+77 | Action på hörn av greve Higman - Sims |
M22 _ | 176 = 1+70+105 | två klasser | |
M23 _ | 253 = 1+42+210 | Punktpar i 23-punkts permutationsrepresentation | |
M23 _ | 253 = 1+112+140 | Block S(4,7,23) | |
McLaughlin Group McL | 275 = 1+112+162 | Action på toppen av greve McLaughlin | |
M24 _ | 276 = 1+44+231 | Punktpar i 24-punkts permutationsrepresentation | |
G2 ( 3 ) | 351 = 1+126+244 | två klasser | |
G2 ( 4 ) | J2 _ | 416 = 1+100+315 | Suzuki kedja |
M24 _ | 1288 = 1+495+792 | Par av kompletterande 12-punktsuppsättningar i en 24-punkts permutationsrepresentation | |
Suzuki Group Suz | 1782 = 1+416+1365 | Suzuki kedja | |
G2 ( 4 ) | 2016 = 1+975+1040 | ||
Co 2 | 2300 = 1+891+1408 | ||
Rudvalis Group Ru | 2 F 4 (2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
Fi 22 | 3510 = 1+693+2816 | 3-permutationer | |
Fi 22 | 14080 = 1+3159+10920 | två klasser | |
Fi 23 | 2.Fi22 _ _ | 31671 = 1+3510+28160 | 3-permutationer |
130816 = 1+32319+98496 | |||
Fi 23 | 137632 = 1+28431+109200 | ||
Fi 24 ' | fi 23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3-permutationer |