Socle (matematik)

Termen socle har flera relaterade betydelser i matematik .

Bandsockel

I gruppteorisammanhang är soklen för en grupp G , betecknad soc( G ), den undergrupp som genereras av de karakteristiskt enkla undergrupperna i gruppen G . Det kan hända att en grupp inte har någon minimal icke-trivial normal undergrupp (det vill säga vilken icke-trivial normal undergrupp som helst innehåller en annan sådan undergrupp), i vilket fall soklen definieras som den undergrupp som genereras av identitetselementet. En socle är en direkt produkt av karakteristiskt enkla grupper [1] .

Som ett exempel, betrakta en cyklisk grupp Z 12 med generator u som har två minimala normala undergrupper, en genererad av ett element u 4 (som ger en normal undergrupp med 3 element) och den andra av ett element u 6 (som ger en normal undergrupp med 2 element). Då är soklen i gruppen Z 12  den grupp som genereras av elementen u 4 och u 6 , som helt enkelt genereras av elementet u 2 .

En socle är en karakteristisk undergrupp och därför en normal undergrupp. Det är dock inte nödvändigtvis transitivt normalt .

Om gruppen G är en finit lösbar grupp , då kan soklen uttryckas som en produkt av elementära abeliska p-grupper . I det här fallet är det helt enkelt produkten av Z/pZ- kopior för olika p , där vissa p kan förekomma mer än en gång.

Modulbas

I sammanhanget av en modul över en ring- och ringteori definieras soklen för en modul M över en ring R som summan av de minimala submodulerna som inte är noll i modulen M . Det kan ses som dualen av modulradikalen . I mängdlära notation

vilket motsvarar

Soklen på en ring R kan referera till en av uppsättningarna i ringen. Antag att den högra modulen R är definierad , soc( R R ), och den vänstra modulen, soc( R R ), är definierad . Båda dessa sokler är ringideal , och det är känt att de inte nödvändigtvis sammanfaller.

• Om M är en artinisk modul , är soc( M ) i sig en väsentlig undermodul av M .
• En modul är halvenkel om och endast om soc( M ) =  M . Ringar för vilka soc( M ) =  M för alla M är exakt halvenkla moduler .
• soc(soc( M )) = soc( M ).
• M är en ändligt genererad modul om och endast om soc( M ) är ändligt genererad och soc(M) är en väsentlig undermodul av modulen M.
• Eftersom summan av semisimple moduler är en semisimple modul, kan socle av en modul definieras som den enda maximala semisimple submodulen.
• Det är lätt att se från definitionen av rad( R ) att rad( R ) annullerar soc( R ). Om R är en finitdimensionell enhetalgebra och M är en finit genererad R -modul, så består soklen exakt av de element som förintas av Johnson-radikalen i ringen R [2] .

Lie algebra socle

I sammanhanget av Lie-algebra är soklen för en symmetrisk Lie-algebra  det rätta utrymmet för dess strukturella automorfismer , som motsvarar egenvärdet −1. (Den symmetriska Lie-algebra delas upp i den direkta summan av dess socle och cosocle .) [3] .

Se även

• Injektiv skal
• Modul radikal
• Kosokol

Anteckningar

1. ↑ Robinson, 1996 , sid. 87.
2. ↑ Alperin, Bell, 1995 , sid. 136.
3. ↑ Postnikov, 2001 , sid. 98.

Litteratur

• Alperin JL, Bell RB grupper och representationer. - Springer-Verlag , 1995. - S. 136. - ISBN 0-387-94526-1 .
• Frank Wylie Anderson, Kent R. Fuller. Ringar och kategorier av moduler. - Springer-Verlag , 1992. - ISBN 978-0-387-97845-1 .
• Derek JS Robinson. En kurs i gruppteori. - 2. - New York: Springer-Verlag , 1996. - T. 80. - S. xviii + 499. — ( Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 0-387-94461-3 . - doi : 10.1007/978-1-4419-8594-1 .
• Mikhail Postnikov . Geometri VI: Riemannsk geometri . - 2001. - ISBN 3540411089 .
  • Postnikov M. M. Föreläsning 8, Symmetric Lie algebras and ternars. // Riemannsk geometri termin V . - Moskva: "Factory", 1998. - (Föreläsningar om geometri). - ISBN 5-88688-020-8 .
• Alperin JL, Bell RB grupper och representationer. - 1995. - V. 162. - (Examinerade texter i matematik). — ISBN 0-387-94526-1 .