Egyptiska fraktioner

Egyptisk bråkdel - i matematik , summan av flera parvis olika bråkdelar av formen (de så kallade alikvotbråken ). Med andra ord har varje bråkdel av summan en täljare som är lika med ett och en nämnare som är ett naturligt tal . ${\frac {1}{n}}$

Exempel: . ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$

Ett egyptiskt bråktal är ett positivt rationellt tal av formen a / b ; till exempel kan det egyptiska bråket skrivet ovan skrivas som 43/48. Det kan visas att varje positivt rationellt tal kan representeras som en egyptisk bråkdel (i allmänhet på ett oändligt antal sätt [1] ). Denna typ av summa användes av matematiker för att skriva godtyckliga bråk från det antika Egyptens tid till medeltiden . I modern matematik används enkla och decimala bråk istället för egyptiska bråk , men egyptiska bråk fortsätter att studeras i talteori och matematikens historia .

Historik

Forntida Egypten

För mer information om detta ämne, se egyptiska siffror , matematik i det antika Egypten .

Egyptiska fraktioner uppfanns och användes först i det gamla Egypten . En av de tidigaste kända referenserna till egyptiska bråk är Rhinda Mathematical Papyrus . Tre äldre texter som nämner egyptiska bråk är den egyptiska matematiska läderrullen , Moskvas matematiska papyrus och Akhmim-trätavlan. Rinda-papyrusen skrevs av skrivaren Ahmes under den andra mellanperiodens era ; den innehåller en tabell med egyptiska bråk för rationella tal av formen 2/ n , samt 84 matematiska problem, deras lösningar och svar skrivna i egyptiska bråk.

Egyptierna använde hieroglyfen

( ep , "[one] of" eller re , rot) över ett tal för att representera en enhetsbråk i konventionell notation, medan en linje användes i hieratiska texter. Till exempel:

={\frac {1}{3}}

={\frac {1}{10}}

De hade också speciella symboler för bråken 1/2, 2/3 och 3/4 (de två sista siffrorna är de enda icke-alikvotbråk som används av egyptierna) som också kunde användas för att skriva andra bråk (större än 1) /2).

={\frac {1}{2}}

={\frac {2}{3))

={\frac {3}{4))

Egyptierna använde också andra notationsformer, baserade på hieroglyfen Eye of Horus , för att representera en speciell uppsättning bråkdelar av formen 1/2 k (för k = 1, 2, ..., 6), det vill säga två -element rationella tal . Sådana fraktioner användes, tillsammans med andra former av egyptiska fraktioner, för att dela upp heqat ( ~4,785 liter ), det huvudsakliga måttet på volym i det forntida Egypten. Denna kombinerade notation har också använts för att mäta volymen av spannmål , bröd och öl . Om efter att ha registrerat kvantiteten i form av en bråkdel av Eye of Horus, det fanns en del återstod, registrerades det i den vanliga formen som en multipel av rho , en måttenhet lika med 1/320 hekat.

Till exempel, så här:

={\frac {1}{331}}

Samtidigt placerades "munnen" framför alla hieroglyfer.

Antiken och medeltiden

Egyptiska bråk fortsatte att användas i antikens Grekland och därefter av matematiker runt om i världen fram till medeltiden , trots anmärkningar från forntida matematiker om dem (till exempel talade Claudius Ptolemaios om besväret med att använda egyptiska bråk jämfört med det babyloniska systemet ). Viktigt arbete med studier av egyptiska bråk utfördes av 1200-talets matematiker Fibonacci i hans arbete " Liber Abaci ".

Huvudtemat för Liber Abaci är beräkningar med decimal- och vanliga bråk, som så småningom ersatte egyptiska bråk. Fibonacci använde en komplex notation för bråk, inklusive notation av tal med en blandad bas och notation som summor av bråk, och egyptiska bråk användes ofta. Också i boken gavs algoritmer för att konvertera från vanliga bråk till egyptiska.

Fibonacci-algoritm

Den första allmänna metoden för att bryta ned en godtycklig fraktion till egyptiska komponenter som har kommit till oss beskrevs av Fibonacci på 1200-talet. I modern notation kan dess algoritm anges enligt följande.

1. Bråket delas upp i två termer: ${\frac {m}{n}}$

{\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n){\bmod {m}}}{n\ lceil n/m\rceil }}.

Här är kvoten för division av n med m , avrundad uppåt till närmaste heltal, och är den (positiva) resten av divisionen av − n med m . $\lceil n/m\rceil$ $(-n){\bmod {m))$

2. Den första termen på höger sida har redan formen av en egyptisk bråkdel. Det kan ses från formeln att täljaren för den andra termen är strikt mindre än den för det ursprungliga bråket. På samma sätt, med samma formel, utökar vi den andra termen och fortsätter denna process tills vi får termen med täljaren 1.

Fibonacci-metoden konvergerar alltid efter ett ändligt antal steg och ger önskad expansion. Exempel:

{\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}.

Nedbrytningen som erhålls med denna metod kanske inte är den kortaste. Ett exempel på dess misslyckade ansökan:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}},

medan mer avancerade algoritmer leder till nedbrytning

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.

Modern talteori

Moderna matematiker fortsätter att utforska ett antal problem relaterade till egyptiska bråk.

I slutet av 1900-talet gavs uppskattningar för den maximala nämnaren och längden på expansionen av en godtycklig bråkdel till egyptiska. Bråket x / y har en expansion till egyptiska bråk med en maximal nämnare på högst

O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)

( Tenenbaum & Yokota 1990 ) och med högst

O\vänster({\sqrt {\log y}}\höger)

( Vose 1985 ).

Erdős-Graham gissningen säger att för varje färgning av heltal större än 1 i r > 0 färger, finns det en ändlig monokromatisk delmängd S av heltal för vilken $\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Denna gissning bevisades av Ernest Krut ] 2003 .

Öppna nummer

Egyptiska bråk utgör ett antal svåra och än i dag olösta matematiska problem.

Erdős-Strauss gissningar säger att för vilket heltal n ≥ 2 som helst finns det positiva heltal x , y och z så att

{\frac 4n}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Datorexperiment visar att gissningen är sann för alla n ≤ 10 14 , men inga bevis har ännu hittats. En generalisering av denna gissning säger att för varje positiv k finns det N så att det för alla n ≥ N finns en nedbrytning

{\frac {k}{n}}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Denna hypotes tillhör Andrzej Schinzel .

Anteckningar

↑ R. Knott . Egyptiska bråk arkiverade 2 maj 2016 på Wayback Machine .

Litteratur

Van der Waerden. Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. Översättning från nederländska av N. Veselovsky. Moskva: Fizmatgiz, 1959, 456 s. (Återtryck: M.: URSS, 2007)
Neugebauer O. Föreläsningar om de antika matematiska vetenskapernas historia (förgrekisk matematik). T. 1. M.-L.: ONTI, 1937.
Neugebauer O. Exakta vetenskaper i antiken. M.: Nauka, 1968. (Återtryck: M.: URSS, 2003)
Raik A.E. Essäer om matematikens historia i antiken. Saransk, Mordovian delstat. förlag, 1977.
Raik A.E. Om historien om egyptiska fraktioner. Historical and Mathematical Research, 23, 1978, sid. 181-191.
Yanovskaya S. A. Om teorin om egyptiska fraktioner. Proceedings of the Institute of the History of Natural Science, 1, 1947, sid. 269-282.
Beeckmans, L. Uppdelningsalgoritmen för egyptiska bråk (obestämd) // Journal of Number Theory . - 1993. - T. 43 . - S. 173-185 .
Botts, Truman. En kedjereaktionsprocess i talteori (neopr.) // Mathematics Magazine . - 1967. - S. 55-65 .
Breusch, R. Ett specialfall av egyptiska bråk, lösning på avancerat problem 4512 // American Mathematical Monthly : journal . - 1954. - Vol. 61 . - S. 200-201 .
Bruins, Evert M. Platon et la tablégyptienne 2/n (obestämd) // Janus. - 1957. - T. 46 . - S. 253-263 .
Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, (engelska) . — Holt, Reinhard och Winston, 1953.
Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs (neopr.) . — Dover, 1982.
Graham, RL Om ändliga summor av ömsesidiga av distinkta n :te makter // Pacific Journal of Mathematics : journal. - 1964. - Vol. 14 , nr. 1 . - S. 85-92 . Arkiverad från originalet den 22 november 2009. Arkiverad 22 november 2009 på Wayback Machine
Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung (tyska) . — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
Knorr, Wilbur R. Tekniker för bråk i det antika Egypten och Grekland (engelska) // Historia Mathematica : journal. - 1982. - Vol. 9 . - S. 133-171 .
Luneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers (tyska) . — Mannheim: B.I. Wissenschaftsverlag, 1993.
Martin, G. Täta egyptiska bråk (engelska) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1999. - Vol. 351 . - P. 3641-3657 .
Menninger, Karl W. Talord och talsymboler: en siffrors kulturhistoria . — MIT Press , 1969.
Robins, Gay; Tyst, Charles. Rhindens matematiska papyrus: en forntida egyptisk text (engelska) . — Dover, 1990.
Stewart, BM Summor av distinkta divisorer (obestämd) // American Journal of Mathematics . - 1954. - T. 76 . - S. 779-785 .
Stewart, I. Gåtan om den försvinnande kamelen // Scientific American . - Springer Nature , 1992. - Nej . juni . - S. 122-124 .
Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics (obestämd) . - Dover, 1967. - S. 20-25 .
Takenouchi, T. På en obestämd ekvation (neopr.) // Proc. Fysisk-matematiska Soc. of Japan, 3:e ser.. - 1921. - Vol 3 . - S. 78-92 .
Tenenbaum, G.; Yokota, H. Längd och nämnare för egyptiska bråk (obestämd) // Journal of Number Theory . - 1990. - T. 35 . - S. 150-156 .
Vose, M. Egyptiska bråk (obestämd) // London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 . - S. 21 .
Wagon, S. Mathematica in Action (neopr.) . — W. H. Freeman1991. - S. 271-277 .

Länkar

David Eppstein. Egyptiska bråk . Arkiverad från originalet den 19 februari 2012. (obestämd)
Egyptiska fraktioner . Arkiverad från originalet den 19 februari 2012. (obestämd)
Matematik i egyptisk papyri (2000). Arkiverad från originalet den 19 februari 2012. (obestämd)
Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Brown, Kevin. RMP 2/n:e tabell (inte tillgänglig länk) . Hämtad 24 december 2006. Arkiverad från originalet 16 oktober 2006. (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska