Keplerian problem
För bollarnas närmast packningsproblem, se Keplers gissning .Inom klassisk mekanik är Keplerproblemet ett specialfall av tvåkroppsproblemet , där två kroppar interagerar genom en central kraft som varierar i storlek omvänt med kvadraten på avståndet mellan dem. Kraft kan vara antingen attraktivt eller frånstötande. Uppgiften är att hitta kropparnas koordinaters eller hastigheters beroende av tid för givna massor och initiala värden för hastigheter och koordinater. Med hjälp av klassisk mekanik kan lösningen uttryckas i termer av Keplerska banor med hjälp av de sex orbitala elementen .
Kepler-problemet är uppkallat efter Johannes Kepler , som föreslog Keplers lagar för planetrörelse (som är en del av klassisk mekanik och löser Kepler-problemet för planetbanor) och undersökte vilka typer av krafter som borde leda till existensen av banor som uppfyller Keplers lagar (det så kallade omvända Kepler-problemet).
Applikationer
Keplerproblemet visar sig i många fall, och vissa är inte relaterade till fysik och studerades av Kepler själv.
Keplers problem är viktigt för den himmelska mekaniken, Newtons omvända kvadratlagsteori om gravitation . Exempel inkluderar satelliters rörelse runt planeter, planeternas rörelse runt deras solar, rörelsen av binära stjärnor runt varandra. Kepler-problemet är också viktigt för fallet med rörelsen av två laddade partiklar mellan vilka Coulomb-krafterna agerar , även de lyder den omvända kvadratlagen. Exempel inkluderar väteatomen , positronium och muonium , som alla spelar viktiga roller i modelleringssystem för att testa fysikaliska teorier och mäta fysikaliska konstanter.
Keplerproblemet och det enkla harmoniska oscillatorproblemet är två av de mest grundläggande problemen inom klassisk mekanik. Det är de enda två fallen som har slutna banor, det vill säga objektet återvänder till samma utgångspunkt med samma hastighet ( Bertrand Problem ). Ofta används Kepler-problemet för att utveckla nya metoder för klassisk mekanik, såsom Lagrangmekanik , Hamiltonmekanik , Hamilton-Jacobis ekvation , aktionsvinkelvariabler . Kepler-problemet bevarar Laplace-Runge-Lenz-vektorn , som har generaliserats till andra interaktioner. Lösningen av det Keplerska problemet tillåter forskare att visa att planeternas rörelse kan beskrivas uttömmande av den klassiska mekanikens lagar och Newtons klassiska gravitationsteori ; den vetenskapliga förklaringen av planeternas rörelse spelade en viktig roll i spridningen av upplysningen.
Matematisk definition
Centralkraft som verkar på två kroppar, som varierar i storlek enligt den omvända kvadratlagen beroende på avståndet mellan kropparna:
,
där är en konstant och är en enhetsvektor riktad längs den räta linjen som förbinder de två kropparna. Kraft kan vara antingen attraktiv ( ) eller frånstötande ( ) .
Motsvarande skalära potential är:
.