Minkowski problem

Minkowskis problem:

om det finns en sluten konvex hyperyta vars Gaussiska krökning är en given funktion av enhetens utåtnormala vektor . $F$ $G(n)$ $n$

Uttalat av Minkowski , som äger den generaliserade lösningen av problemet i den meningen att den inte innehåller någon information om arten av regelbundenhet , även om det är en analytisk funktion . Han bevisade att om en kontinuerlig positiv funktion definierad på enheten hypersfären uppfyller villkoret $F$ $G(n)$ $S$ $G(n)$

\int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,

då finns det och dessutom en unik (upp till parallell translation ) sluten konvex yta , för vilken är Gauss krökning vid en punkt med den utåtriktade normalen . $F$ $G(n)$ $n$

Den vanliga lösningen av Minkowski-problemet gavs av AV Pogorelov 1971 . I synnerhet bevisade han att om den tillhör klassen , , så tillhör den resulterande ytan klassen jämnhet , och i fallet med analyticitet visar sig ytan också vara analytisk. $K(n)$ ${\displaystyle C^{m))$ $m\geq 3$ $F$ ${\displaystyle C^{m+1,\alpha ))$ $K(n)$ $F$

Variationer och generaliseringar

Det finns en generalisering av Minkowski-problemet för ett Riemannskt utrymme [1] .

Se även

Minkowskis polyhedrasats

Litteratur

↑ Bodrenko AI Lösningen av Minkowski-problemet för öppna ytor i Riemannska rymden. Arkiverad 21 februari 2020 på Wayback Machine Arxiv.org, 2007.

Minkowski H. Volumen und Oberflache, Mathematische Annalen 57 (1903) 447-495
Pogorelov A. V., Multidimensional problem of Minkowski, Moskva, 1971;
Buseman G. Konvexa ytor. — 1964.