Betz lag

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 december 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Betz - lagen definierar den maximala effekten för en vindgenerator för en given vindhastighet och rotorarea. Upptäcktes 1919 av den tyske fysikern Albert Betz . Enligt denna lag kan en vindgenerator inte ta mer än 59,3 % av kraften från luftflödet som faller på den [1] .

Elementär förklaring

Energin som produceras av en vindgenerator beror på mängden luft som har passerat genom den (kallad flödeshastighet) och andelen kraft som tas från luftströmmen, vilket uttrycks i att sakta ner flödet när det passerar genom rotorn. Låt oss överväga två extrema fall:

Om rotorn tar 100 % av kraften från flödet, kommer flödet att stanna, medan flödet blir noll och effektuttaget från vindgeneratorn blir också noll.
Om rotorn tar 0% av kraften från flödet blir flödet maximalt, men uteffekten blir också noll.

Det bästa driftsättet för alla vetogeneratorer ligger alltså i mitten mellan dessa två extremfall. Betzs lag uttrycker matematiskt detta sätt med maximal effektivitet. Han hävdar att den maximala verkningsgraden, lika med 16/27 (59,3%), uppnås när luften som passerar genom rotorn bromsas ned med en faktor tre [2] [3] .

Tre oberoende upptäckter av verkningsgradsgränsen för en turbin

Den brittiske forskaren Frederick Lanchester beräknade effektiviteten hos en turbin 1915. Den ryske vetenskapsmannen, grundaren av aerodynamik som vetenskap, Nikolai Yegorovich Zhukovsky , publicerade samma resultat om ett idealiskt vindkraftverk 1920, samma år som Betz. [4] Detta är ett utmärkt exempel på Stiglers lag .

Härledning av formeln

Betz-gränsen representerar den maximala möjliga energi som ett luftflöde med en viss hastighet kan överföra till en oändligt tunn rötor [5] .

För att beräkna den maximala teoretiska effektiviteten för en tunn rotor (till exempel en väderkvarn ) ersätter vi rotorn med en skiva som tar energi från flödet som passerar genom den. Efter att ha passerat genom skivan tappar flödet en del av sin hastighet [5] .

Antaganden

Rotorn har inget nav och är idealisk, med ett oändligt antal blad som inte har något motstånd.
Flödet har en strikt axiell riktning. Hela strömmen som faller på skivan passerar helt genom den och går ut från baksidan.
Strömmen är inkompressibel. Densiteten förblir konstant, ingen värmeöverföring sker.
Kraften på skivan eller rotorn är enhetlig.

Tillämpning av lagen om bevarande av massa (kontinuitetsekvation)

Genom att tillämpa på volymen luft som passerar genom rotorn, lagen om bevarande av massa , får vi ett uttryck för massflödet (massa av luft som passerar genom rotorn per tidsenhet):

{\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},

var är flödeshastigheten framför rotorn; - flödeshastighet bakom rotorn;, - hastighet på den hydrauliska kraftanordningen; - luftdensitet ; är rotorns yta; och - tvärsnittet av luftflödet som faller på rotorn och lämnar den. $v_{1}$ $v_{2}$ $v$ $\rho$ $S$ $A_{1}$ $A_{2}$

Således måste produkten av densitet, flödestvärsnitt och hastighet vara densamma i vart och ett av de tre områdena: före rotorn, när den passerar genom rotorn och efter.

Kraften som verkar på luftflödet från sidan av rotorn är lika med luftmassan multiplicerad med dess acceleration. När det gäller densitet, tvärsnitt och flödeshastighet kan detta skrivas som

{\begin{aligned}F&=ma=m{\frac {dv}{dt}}={\dot {m}}\,\Delta v=\rho Sv(v_{1}-v_{2 }).\end{aligned}}

Kraft och arbete

Arbetet som utförs av en kraft kan skrivas i differentiell form som

dE=F\,dx,

sedan kraften i luftflödet

P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.

Genom att ersätta det tidigare erhållna uttrycket för kraften får vi $F$

P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).

Å andra sidan kan effekt beräknas som förlusten av energi genom luftflödet per tidsenhet:

P={\frac {\Delta E}{\Delta t))={\tfrac {1}{2)){\dot {m))(v_{1}^{2}-v_{2 }^{2}).

Genom att ersätta uttrycket som hittats tidigare från kontinuitetsvillkoret får vi ${\dot m}$

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).

Jämställ båda uttrycken med varandra:

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1} -v_{2}).

Vi reducerar de gemensamma faktorerna och transformerar det resulterande uttrycket:

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=v(v_{1}-v_{2});

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2});

v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).

Således är luftflödet i rotorn lika med det aritmetiska medelvärdet av hastigheterna före och efter den.

Betz's lag och effektivitet

Låt oss återgå till uttrycket för kraft i termer av kinetisk energi :

{\dot {E}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}^{3}+v_{1}^{2}v_{2}-v_{1}v_{2}^{ 2}-v_{2}^{3})

={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right )-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right )^{3}\höger).

Genom att differentiera det sista uttrycket med avseende på konstanter , och likställa det resulterande uttrycket med noll, finner vi att det har ett extremum (maximum) vid . ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}$ $v_{1}$ $S$ $\dot E$ ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}$

Att ersätta detta resultat med uttrycket för makt, får vi

P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Vi skriver det sista uttrycket som

P=C_{\text{p}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Den totala effekten av luftflödet med ett tvärsnitt och hastighet är lika med $S$ $v_{1}$

P_{\text{wind}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Detta är alltså " effektfaktorn " [6] , som visar vilken maximal andel av effekten av det infallande flödet som tas av vindgeneratorns rotor. Det är lika , det vill säga vindgeneratorns verkningsgrad kan inte överstiga 59,3%. $C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}$ $C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}=0,593$

Moderna stora vindkraftverk når värden på 0,45 ... 0,50 [7] , det vill säga 75–85 % av maximalt möjliga värde. Vid höga vindhastigheter, när turbinen arbetar med märkeffekt, ökas bladvinkeln, vilket minskar α för att undvika skador på rotorn. Med en ökning av vindhastigheten från 12,5 till 25 m/s ökar vindkraften med 8 respektive, med en vind på 25 m/s måste den minskas till 0,06. $C_{\text{p))$ $C_{\text{p))$ $C_{\text{p))$

Se även

Vindkraft

Anteckningar

↑ Betz, A. (1966) Introduktion till teorin om flödesmaskiner . (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.
↑ Vindkraftverk - Betz Law Explained (engelska) (länk inte tillgänglig) . Physics and Astronomy Outreach Program vid University of British Columbia (Brittany Tymos 2009-06-11) (18 maj 2010). Tillträdesdatum: 9 december 2015. Arkiverad från originalet 28 september 2015.
↑ Peter F. Pelz. Övre gräns för vattenkraft i ett öppet kanalflöde . JOURNAL OF HYDRAULIC ENGINEERING Vol. 137, nr. 11 (november 2011). - "Detta optimum uppnås när vinden bromsas ned till 1=3 av sin hastighet uppströms vindkraftverket och till 2=3 i vindkraftverkets plan." Hämtad: 9 december 2015. (obestämd)
↑ Gijs AM van Kuik, The Lanchester-Betz-Joukowsky Limit Arkiverad 9 juni 2011 på Wayback Machine , Wind Energ. 2007; 10:289-291
↑ 1 2 Manwell, JF Wind Energy Explained: Theory, Design and Application / JF Manwell, JG McGowan, AL Rogers. — Chichester, West Sussex, Storbritannien: John Wiley & Sons Ltd., februari 2012. — S. 92–96 . — ISBN 9780470015001 .
↑ "Dansk vindindustriförening" . Arkiverad från originalet den 31 oktober 2009.
↑ "Enercon E-familj, 330 Kw till 7,5 Mw, vindkraftsspecifikation" Arkiverad 16 maj 2011 på Wayback Machine .

Länkar

Martin Kaltschmitt, Wolfgang Streicher, Andreas Wiese. Förnybar energi : Teknik, ekonomi och miljö . - Springer, 2007. - ISBN 978-3-540-70947-3 .
Gorban, Alexander N., Alexander M. Gorlov och Valentin M. Silantyev, "Gränser för turbinens effektivitet för fritt vätskeflöde." / Journal of Energy Resources Technology 123.4 (2001): 311-317.
Wind Energy Conversion Theory, Betz Equation , M. Ragheb , 2014