Biot-Savart-Laplace lag

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 juni 2014; kontroller kräver 63 redigeringar .

Biot-Savár-Laplace- lagen (även Biot-Savár-lagen ) är en fysisk lag för att bestämma induktionsvektorn för ett magnetfält som genereras av likström . Etablerat experimentellt av Biot och Savart och formulerat på ett allmänt sätt av Laplace .

Enligt denna lag är den magnetiska induktionen i vakuum, skapad av den rumsliga fördelningen av strömtätheten , vid en punkt med en radievektor (i SI ) $\mathbf {j} (\mathbf {r} )$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

var är volymelementet, och integrationen utförs över alla områden, där (vektorn motsvarar den aktuella punkten under integrationen). Det finns också en formel för magnetfältets vektorpotential . $dV$ $\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {A}$

Biot-Savart-Laplace-lagens roll i magnetostatik liknar rollen för Coulomb-lagen i elektrostatik. Det används ofta för att beräkna magnetfältet från en given fördelning av strömmar.

I modern metodik betraktas Biot-Savart-Laplace-lagen som regel som en konsekvens av två Maxwell-ekvationer för ett magnetfält under villkoret av ett konstant elektriskt fält.

Biot-Savart-lagen i olika fall

Biot-Savart-lagen används för att beräkna magnetfältet för strömmar i vakuum. Den kan även användas i fallet med ett medium med koordinatoberoende magnetisk permeabilitet (då ersätts det överallt av ). Men i närvaro av en inhomogen magnet , formlerna är otillämpliga, eftersom för att få integrationen skulle det vara nödvändigt att inkludera både ledningsströmmar och molekylära strömmar, och de senare är inte kända i förväg. $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu _{0}\mu$ $\mathbf {B}$

För strömmar som flyter genom en tunn ledare

Låt en likström flyta genom en krets (ledare) i vakuum, den punkt där fältet söks. Då uttrycks magnetfältsinduktionen vid denna punkt av integralen (i SI-systemet av enheter ) $jag$ $\gamma$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \över 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\ mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

där hakparenteser betecknar vektorprodukten , är positionen för konturpunkterna , är vektorn för konturelementet (strömmen flyter längs den); är den magnetiska konstanten . $\mathbf {r}$ $\gamma$ $d\mathbf {r}$ $\mu_{0}$

Vektorpotentialen ges av integralen (i SI- systemet )

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \över 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )d\mathbf {l} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}

Konturen kan ha grenar. I detta fall bör uttrycket ovan förstås som summan över grenarna, termen för varje gren är en integral av den skriftliga formen. För en enkel (icke-förgrenande) krets (och under förhållandena för den magnetostatiska approximationen, vilket innebär frånvaro av laddningsackumulering), är strömmen densamma i alla delar av kretsen och kan tas ut ur integraltecknet. $\gamma$ $jag$

Om vi tar som utgångspunkt punkten där du behöver hitta den magnetiska induktionsvektorn, är formeln något förenklad: $\mathbf {r} _{0}=0$

d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]} {r^{3}}}

där är vektorn som beskriver ledarens kurva med ström , är modul , är den magnetiska induktionsvektor som skapas av ledarelementet . ${\vec {r))$ $jag$ $r$ ${\vec {r))$ $d{\vec B}$ $d{\vec r}$

Riktningen är vinkelrät mot planet som innehåller vektorerna och . Riktningen för den magnetiska induktionsvektorn kan hittas av den rätta skruvregeln : skruvhuvudets rotationsriktning anger riktningen om gimletens translationsrörelse motsvarar riktningen för strömmen i elementet. Vektorns modul ges av (i SI ) $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ ${\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}$ $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf B}$

dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2))},

var är vinkeln mellan vektorn (radievektorn ritad från ledarelementet till den punkt där fältet söks efter) och ledarelementet. $\alfa$ ${\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$

Fältet i mitten av ringen

Låt oss hitta magnetfältet i mitten av en ringformad spole med radie med ström . Låt oss matcha ursprunget med den punkt där induktionen söks. Radievektorn för det aktuella elementet som skapar fältet (elementet i ringens båge) kommer att skrivas som , där är enhetsvektorn i ringens plan, riktad från mitten. Bågelementet skrivs som , där är enhetens tangentvektor till cirkeln. Enligt Biot-Savart-formeln, $R$ $jag$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=R{\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{r}$ $d{\vec {r}}=d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{\varphi }$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r }}]}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[R{\vec {e}}_{r}\times dl\,{\vec {e}}_{\varphi }]}{R^{3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R^{2}}}dl \,{\vec {e}}_{z}

eftersom är enhetsvektorn längs ringens axel. För att hitta fältet som skapas av hela ringen, och inte av ett enda element, måste du integrera. Resultat: ${\vec {e}}_{r}\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z}$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I{\vec {e}}_{z}}{4\pi R ^{2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}I}{2R}}\,{\vec {e}}_{z}

eftersom integralen helt enkelt är omkretsen av en cirkel . $2\pi R$

Fältet för en oändlig rak tråd

Låt oss nu hitta det magnetiska fält som skapas av en oändlig rak ledare med ström på avstånd från ledaren. Denna gång väljer vi origo i punkten P-projektion, där induktionen söks, på trådaxeln . Då kommer radievektorn för det aktuella elementet som skapar fältet (ett element i ett rakt linjesegment) att skrivas som , medan , och radievektorn för punkten P som . Enligt Biot-Savart-formeln, $jag$ $R_{0}$ $z$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=z{\vec {e}}_{z}$ $d{\vec {r}}=dz\,{\vec {e}}_{z}$ ${\vec {r}}_{0}=R_{0}{\vec {e}}_{r}$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[d{\vec {r}}\times ({\vec { r}}_{0}-{\vec {r}})]}{|{\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}|^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[dz\,{\vec {e}}_{z}\times (R_{0}{\vec {e}}_{ r}-z{\vec {e}}_{z})]}{|R_{0}{\vec {e}}_{r}-z{\vec {e}}_{z}|^ {3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {R_{0}}{(R_{0}^{2}+z^{2}) ^{3/2}}}\,dz\,{\vec {e}}_{\varphi }

eftersom är en enhetsvektor längs en cirkel vars symmetriaxel är tråden, och . För att hitta fältet för hela tråden måste du integrera över från : ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{r}={\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{z}=0$ $z$ $-\infty$ $+\infty$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}IR_{0}{\vec {e}}_{\varphi }}{ 4\pi }}\int {\frac {dz}{(R_{0}^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{0}I }{2\pi R_{0}}}\,{\vec {e}}_{\varphi }

eftersom integralen är lika (vid tagning görs en ersättning ). Resultatet sammanfaller med det som erhålls av en annan, enklare för en given geometri, metod - från Maxwells ekvation för magnetfältets styrka i integral form i frånvaro av variabla fält: . Om en cirkel med radie väljs som konturen längs vilken integrationen utförs , kommer fältet, på grund av symmetri, att vara samma i storlek och riktat längs tangenten ( , ). Då kommer integrationen att ge , varefter vi har . Följaktligen, för ett vakuum (och för ett homogent magnetiskt medium med en permeabilitet , ) visas istället . ${\displaystyle 2/R_{0}^{2))$ $z=R_{0}\tan \beta$ ${\vec {H}}$ $\oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=I$ $R_{0}$ $H$ ${\vec {H}}=H{\vec {e}}_{\varphi }$ $d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ $2\pi R_{0}H$ ${\displaystyle H=I/2\pi R_{0))$ $B=\mu _{0}I/2\pi R_{0}$ $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu _{0}\mu$

För yt- och bulkströmmar

För det fall då källan till magnetfältet är volymetriskt fördelade strömmar (A/m 2 ), kännetecknade av en koordinatberoende strömtäthetsvektor , tar Biot-Savarts lagformel för magnetisk induktion och formeln för vektorpotentialen formen (i SI- systemet ) $\mathbf {j}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

var är volymelementet, och integrationen utförs över hela utrymmet (eller över alla dess regioner, där (vektorn motsvarar den aktuella punkten under integrationen (elementets position ). $dV$ $\mathbf {j} =\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf {r}$ $dV$

För det fall när källan till magnetfältet är strömmen (A/m) som flyter över en viss yta, $\mathbf{i}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {i} dS,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {i} (\mathbf {r} )dS}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

var är arealementet av den strömförande ytan, över vilken integrationen utförs. $dS$

Lagens logiska plats i magnetostatiken

I den moderna presentationen av läran om elektromagnetism är Biot-Savart-Laplace-lagen vanligtvis placerad som en konsekvens av två Maxwell-ekvationer för ett magnetfält under villkoret av ett konstant elektriskt fält - och härleds från dem genom matematiska transformationer. I denna logik fungerar Maxwells ekvationer som mer fundamentala, postulerade uttalanden (inklusive för att Biot-Savart-formeln inte bara kan generaliseras till det allmänna fallet med fält som är beroende av tid).

Men historiskt sett föregick uppkomsten av Biot-Savart-lagen Maxwell-ekvationerna och var en del av den experimentella grunden för att formulera den senare. Föregångarna till upprättandet av denna lag var Ampères experiment om studiet av kraftsamverkan mellan ledare och ström. Denna kraftinteraktion kan beskrivas utan att nämna frasen "magnetfält" alls, men tolkningen av växelverkan mellan strömmar utvecklades gradvis som interaktionen mellan en ström och fältet som skapas av en annan ström, enligt likheterna:

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

där och är radie-vektorerna för ledarnas längdelement och , och är kraften hos elementet (som skapar ett fält vid punkten ) på elementet . Faktum är att samtidigt det "magnetiska fältet" blev en oberoende fysisk enhet, och frågan uppstod om att definiera fältet, och inte kraften. Biot och Savard deltog i dessa arbeten 1820, och Laplace föreslog en allmän formel för området . Han visade också att det med hjälp av Biot-Savart-lagen är möjligt att beräkna fältet för en rörlig punktladdning (förutsatt att en laddad partikels rörelse är en ström). I den tidens logik är denna lag primär. ${\vec {r}}_{1}$ ${\vec {r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {l}}_{2}$ $d^{2}{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})$ ${\vec {r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{2}$

Ur en formell synvinkel, när det gäller magnetostatik, kan båda tillvägagångssätten anses lika, det vill säga i denna mening, vilka av dem som ska deklareras som initiala positioner och vilka som konsekvenser beror på valet av axiomatisering, vilket för magnetostatik kan vara den ena eller den andra med lika rätt och praktiskt taget lika med bekvämlighet. Men, som nämnts ovan, dominerar nu tillvägagångssättet baserat på Maxwells ekvationer.

Biot-Savart-Laplace-lagen kan härledas på ett annat sätt, genom att använda Lorentz-transformationen av komponenterna i den elektromagnetiska fälttensorn från en rörlig referensram, där det bara finns ett elektriskt fält för ett visst laddningssystem, till en fast referensram [1] . Det visar sig att magnetfältet i Biot-Savart-lagen bestäms med en relativ noggrannhet som är lika stor i storleksordningen , där är ljusets hastighet och är drivhastigheten för laddade partiklar som ingår i strömtätheten . $v^{2}/c^{2}$ $c$ ${\mathbf v}$ $\vec{j}$

I en praktisk aspekt, för beräkningar, spelar Biot-Savart-Laplace-lagen samma roll i magnetostatik som Coulombs lag inom elektrostatik.

Härledning av lagen från Maxwells ekvationer

Biot-Savart-Laplace-lagen kan härledas från Maxwells ekvationer för ett stationärt fält. I det här fallet är tidsderivatorna lika med 0, så ekvationerna för fältet i vakuum tar formen (i SI- systemet )

\operatörsnamn {rot} \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,\qquad \operatörsnamn {div} \,\mathbf {B} =0

\operatörsnamn {rot} \,\mathbf {E} =0,\qquad \operatörsnamn {div} \,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}^{-1}\rho

där är strömtätheten i rymden, är den elektriska konstanten , är laddningstätheten . I det här fallet visar sig de elektriska och magnetiska fälten vara oberoende. ${\mathbf j}$ $\varepsilon_{0}$ $\rho$

Låt oss använda vektorpotentialen för magnetfältet ( ). Mätarinvariansen för ekvationerna tillåter att ett ytterligare villkor ställs på vektorpotentialen: . Genom att expandera den dubbla rotorn i ekvationen med formeln för vektoranalys , får vi för potentialen en ekvation av typen av Poisson-ekvationen : ${\mathbf A}$ ${\mathbf B}=\operatörsnamn {rot}\,{\mathbf A}$ $\operatörsnamn {div}\,{\mathbf A}=0$ $\operatörsnamn {rot} \,\mathbf {B}$ ${\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} .

Dess speciella lösning ges av en integral som liknar den Newtonska potentialen :

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\ mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV

Då bestäms magnetfältet av integralen

\mathbf {B} =\operatörsnamn {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[\nabla {\frac { 1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV={\frac {\mu _{0} }{4\pi }}\int {\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r } -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV

liknande i form av lagen om Biot-Savart-Laplace. Denna överensstämmelse kan göras komplett om vi använder generaliserade funktioner och skriver ner den rumsliga strömtätheten som motsvarar spolen med ström i tomt utrymme. Genom att gå från integration över hela utrymmet till den itererade integralen längs svängen och längs planen som är vinkelräta mot den och med hänsyn till det , får vi Biot-Savart-Laplace-lagen för svängens fält med ström. ${\mathbf j}dV=I{\mathbf {dl))$

Anteckningar

↑ Fedosin, Sergey G. (2021). "Satet om magnetfältet för roterande laddade kroppar". Framsteg inom elektromagnetisk forskning M . 103 : 115-127. arXiv : 2107.07418 . Bibcode : 2021arXiv210707418F . DOI : 10.2528/PIERM21041203 .// Teorem om magnetfältet hos roterande laddade kroppar Arkiverad 14 augusti 2021 på Wayback Machine .

Litteratur

Sivukhin DV Allmän kurs i fysik. - Ed. 4:a, stereotypt. — M .: Fizmatlit ; MIPT Publishing House, 2004. - Volym III. Elektricitet. — 656 sid. - ISBN 5-9221-0227-3 ; ISBN 5-89155-086-5 ..
Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .