Gyllene triangel (geometri)

Den gyllene triangeln [1]  är en likbent triangel där de två laterala (lika) sidorna är i gyllene snitt med basen:

Gyllene trianglar kan hittas i utvecklingen av några av stjärnbilderna av dodekaedern och ikosaedern .

Samma triangel finns också i pentagrammets hörn . Spetsvinkeln är

Av det faktum att summan av vinklarna i en triangel är 180° får vi att vinklarna vid basen är 72° [1] . En gyllene triangel kan också hittas i en dekagon om två angränsande hörn är anslutna till mitten. Den resulterande triangeln kommer att vara gyllene, eftersom: 180(10-2)/10=144° är dekagonets inre vinkel, och om man dividerar den med segmentet som förbinder vertexet med mitten får man hälften, 144/2=72 [ 1] .


Den gyllene triangeln är också känd för sitt unika vinkelförhållande på 2:2:1 [2] .

Logaritmisk spiral

En sekvens av gyllene trianglar kan skrivas in i en logaritmisk spiral . (Utgående från en stor triangel) delar vi vinkeln vid basen på mitten, vi får nästa punkt [3] . Delningsprocessen kan fortsätta i det oändliga och skapa ett oändligt antal gyllene trianglar. En logaritmisk spiral kan dras genom de resulterande hörnen. Denna spiral är också känd som den konforma spiralen . Termen föreslogs av Rene Descartes : "Om du drar en linje från polen till någon punkt på kurvan, kommer den alltid att skära kurvan i samma vinkel" [4] .

Golden Gnomon

Nära besläktad med den gyllene triangeln är den gyllene gnomonen , en trubbig likbent triangel där förhållandet mellan längden på lika (korta) sidor och längden på den tredje sidan (basen) är inversen av det gyllene snittet. Den gyllene gnomonen är en unik triangel med ett vinkelförhållande på 1:1:3. Dess spetsiga vinklar är 36°, samma värde som vinkeln vid spetsen av den gyllene triangeln.

Avståndet AX och CX är lika med φ, vilket kan ses i figuren. "Den gyllene triangeln har ett bas-till-sida-förhållande lika med det gyllene snittet φ, medan en gyllene gnomon har ett sida-till-basförhållande lika med samma gyllene snitt" [5] .

Den gyllene triangeln kan skäras till en gyllene triangel och en gyllene gnomon. Detsamma gäller för den gyllene gnomonen. Den gyllene gnomonen och den gyllene triangeln med sina lika sidor (sidan av gnomonen är lika med sidan av triangeln) är också trubbiga och spetsiga Robinsontrianglar [2] .

Dessa likbenta trianglar kan användas för att få Penrose-plattor . Penrose-plattor består av drakar och pilar. "Ormen" är en deltoid , som består av två gyllene trianglar, och "darten" är en deltoid, som består av två gyllene gnomoner.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 Elam, 2001 .
  2. ↑ 1 2 Tilings Encyclopedia Arkiverad 24 maj 2009 på Wayback Machine
  3. ↑ Huntley, 1970 .
  4. ↑ Livio, 2002 .
  5. ↑ Loeb, 1992 .

Litteratur

Länkar

 gyllene snittet
"Gyllene" figurer
Andra avsnitt
Övrig