Idealiskt antal

Idealtal introducerades 1847 av den tyske matematikern Ernst Eduard Kummer [1] och tjänade som utgångspunkt för att fastställa idealen för ringar som introducerades senare av Dedekind . För närvarande används inte denna term och har ersatts av begreppet ideal.

Ett ideal i en ring är principiellt om det består av element som är multiplar av något element, annars är det icke-principiellt . Således kan varje nummer i ringen associeras med huvudidealet, medan vi kan anta existensen av idealtal, vilket skulle motsvara ett godtyckligt ideal.

Exempel

Låt y vara roten till ekvationen y ² + y + 6 = 0, då är fältets heltalsring , det vill säga alla uttryck av formen a + by , där a och b är element i heltalsringen . Ett exempel på ett icke-principiellt ideal i en sådan ring är 2 a + yb , där a och b är heltal; kuben för detta ideal är principiell, klassgruppen är cyklisk av ordning 3. Motsvarande klassfält erhålls genom att addera alla element w av formen w ³ − w − 1 = 0 till , vilket ger . Idealtalet för det icke-huvudsakliga idealet 2 a + yb är . Eftersom det uppfyller ekvationen är det ett algebraiskt heltal. ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Z} [y]$ ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Q} (y,w)$ $\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$ $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$

Alla element i ringen av heltal i klassfältet, multiplicerade med ι, ger formen a α + b β, där $\mathbb {Z} [y]$

\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23

och

\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.

Koefficienterna α och β är också algebraiska heltal som uppfyller

\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0

och

\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0

respektive. Genom att multiplicera a α + b β med det ideala talet ι får vi 2 a + med , vilket är ett icke-huvudideal.

Historik

Kummer skrev först om möjligheten till icke-unik faktorisering i cyklotomiska (cirkulära) fält 1844 i en obskyr journal; artikeln upprepades 1847 i Liouvilles tidskrift . I ytterligare artiklar 1846 och 1847 publicerade han sin grundläggande teorem om det unika med faktoriseringen till (verkliga och ideala) primtalsfaktorer.

Kummer tros ha kommit fram till idén om "ideala komplexa tal" när han studerade Fermats sista teorem ; det sägs till och med att Kummer, liksom Lame , trodde att han hade bevisat Fermats sista sats, tills Dirichlet berättade för honom att hans argument vilade på det unika med faktoriseringen; men denna historia berättades först av Kurt Hansel 1910 och härstammar troligen från ett fel i en av Hansels källor. Harold Edwards sa att "tron att Kummer var seriöst intresserad av Fermats sista teorem är utan tvekan felaktig."

En generalisering av Kummers idéer genomfördes av Kronecker och Dedekind under de kommande fyrtio åren. Direkt generalisering stötte på allvarliga svårigheter, vilket ledde till att Dedekind skapade teorin om moduler och ideal . Kronecker behandlade svårigheten genom att utveckla teorin om former (en generalisering av kvadratiska former ) och teorin om divisorer . Dedekinds arbete utgjorde grunden för ringteori och allmän algebra , medan Kroneckers arbete skapade det huvudsakliga verktyget för algebraisk geometri .

Se även

Anteckningar

↑ Ideal // Kazakstan. Nationalencyklopedin . - Almaty: Kazakiska uppslagsverk , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (ryska) (CC BY SA 3.0)

Litteratur

Nicolas Bourbaki, Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, NY, 1999.
Harold M. Edwards, Fermats sista sats. Allmän introduktion till talteori. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
C. G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis och numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; omtryckt i Jour. deMath. 12 (1847) 185-212.
EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. Fur Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
John Stilwell, Introduktion till teorin om algebraiska heltal av Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Storbritannien, 1996.

Länkar

Idealtal , Ett bevis på att idealtalsteorin bevarar det unika med faktorisering för cyklotomiska heltal, på Fermats Last Theorem-blogg .