Isogeni

En isogeni  är en morfism av algebraiska grupper som är surjektiv och har en finit kärna.

Om grupperna är Abeliska varianter, är varje morfism av den underliggande algebraiska sorten som är surjektiv med ändliga fibrer automatiskt en isogeni, vilket ger . En sådan isogeni f ger en grupphomomorfism mellan grupperna av k -värderade punkter [1] av varianterna A och B för vilket fält k som helst över vilket f definieras.

Termerna "isogeni" och "isogen" kommer från det grekiska ordet ισογενη-ς , som betyder "lika i någon mening". Termen "isogeni" introducerades av Andre Weil , innan dess, istället för termen "isogeni", användes den förvirrande termen "isomorfism".

Fallet med abelska sorter

För abeliska sorter , såsom elliptiska kurvor , kan detta begrepp anges på följande sätt:

Låt E 1 och E 2  vara Abeliska sorter med samma dimension över ett fält k . En isogeni mellan E 1 och E 2  är en tät morfism av grenrör som bevarar baspunkter (det vill säga f mappar en till E 1 och en till E 2 ) [2] .

Detta är ekvivalent med ovanstående koncept, eftersom all tät morfism [3] mellan två Abeliska varianter av samma dimension är automatiskt surjektiv och har ändliga fibrer, och om den bevarar enheter så är det en grupphomomorfism.

Två Abeliska sorter E 1 och E 2 kallas isogena om det finns en isogeni . Detta är en ekvivalensrelation som är symmetrisk på grund av existensen av den dubbla isogenin . Som ovan inducerar varje isogeni en homomorfism av grupperna av k -värderade punkter av Abeliska sorter.

Anteckningar

  1. ↑ Om X är ett förschema, kommer morfismer från S till X , det vill säga element av , att kallas S-värderade punkter av X eller S-rationella punkter av X ( Mumford, 1968 , s. 29).
  2. ↑ Kurnosov, 2016 , sid. 69.
  3. ↑ En tät morfism är en morfism med en tät bild ( Nica, 2010 , s. 2).

Litteratur