Isophota

Isophote ( eng. Isophote ) - en kurva på en upplyst yta som förbinder punkter med samma ljusstyrka . Antag att belysningen skapas av en stråle av parallella ljusstrålar, och ljusstyrkan uttrycks av den skalära produkten $b$

b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi \ .

${\vec {n}}(P)$ är en enhetsvektor vinkelrät mot ytan vid punkten , och vektorn är en enhetsvektor i ljusets utbredningsriktning. I det fall där ljuset är vinkelrätt mot normalen till ytan är punkten en punkt på ytans siluett i riktningen . En ljusstyrka på 1 betyder att ljusstrålen är vinkelrät mot ytan. På planet, inom ramen för antagandet att strålen av strålar är parallell, kommer det inte att finnas några isofoter. $P$ ${\vec {v}}$ $b(P)=0$ $P$ ${\vec {v}}$

Inom astronomi är ett isofoto en kurva på en bild av ett objekt som förbinder punkter med lika ljusstyrka. [ett]

Applikation och exempel

I datorstödda designsystem används isofoter för att optiskt kontrollera jämnheten av ytförband. För en yta (given implicit eller parametriskt) som är differentierbar tillräckligt många gånger, beror normalvektorn på de första derivatorna. Följaktligen är isofoternas differentierbarhet och deras geometriska kontinuitet av 1 ordning mindre än själva ytan. Om endast tangentplan är kontinuerliga i en punkt på ytan (jämnhet av ordning 1), så har isofoter brott (enbart jämnhet av ordning noll).

I följande exempel täcks två korsande Bézier-ytor av en del av den tredje ytan. I figuren till vänster berör täckytan Bezier-ytor med släthetsordning 1, i figuren till höger med släthetsordning 2. Från själva figurerna är skillnaden mellan situationerna dåligt synlig, men studiet av det geometriska kontinuitet av isofoter visar: i figuren till vänster har isofoterna brott (jämnhet av ordning 0), och i figuren till höger ser isofoterna jämna ut (jämnhet av ordning 1).

Isofoter på två Bézier-ytor: veck är synliga till vänster, släta isofoter till höger.

Bestämning av isofotopunkter

på en implicit yta

För en implicit given yta med ekvationen uppfyller isofoterna likheten $f(x,y,z)=0$

{\frac {\nabla f\cdot {\vec {v))}{|\nabla f|}}=c\ .

Detta betyder: punkterna på isofoten med den givna parametern representerar lösningen av det olinjära systemet $c$

$\ f(x,y,z)=0,\qquad \nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v))-c\;|\nabla f(x,y,z )|=0\ ,$

som kan betraktas som en skärningslinje mellan två implicit definierade ytor. Med hjälp av algoritmen som presenteras av Bajaj et al (se referenser) kan en polygon beräknas från isofotpunkter.

på en parametriskt definierad yta

I fallet med en parametriskt specificerad yta har ekvationen för isofoter formen ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$

{\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S }}_{s}\ gånger {\vec {S}}_{t}|}}=c\ ,

vilket motsvarar uttrycket

$\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S} }_{s}\ gånger {\vec {S}}_{t}|=0\ .$

Denna ekvation beskriver en implicit definierad kurva i st-planet, som kan representeras med en lämplig algoritm och omvandlas med hjälp till punkter på ytan. ${\vec {S}}(s,t)$

Litteratur

J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , sid. 31.
Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. al.: Biometric Recognition , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , sid. 158.
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections , (1988) Comp. Hjälpte Geom. Design 5, s. 285–307.
C.T. Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods , Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , sid. 209.

Anteckningar

↑ J. Binney, M. Merrifield: Galactic Astronomy , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , sid. 178.