Invariant (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 maj 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

En invariant är en egenskap hos en viss klass ( uppsättning ) av matematiska objekt som förblir oförändrad under en viss typ av transformation.

Definition

Låt vara en uppsättning och vara en uppsättning mappningar från till . En mappning från en mängd till en mängd kallas en invariant för om identiteten gäller för någon och . $A$ $G$ $A$ $B$ $f$ $A$ $B$ $G$ $a\i A$ $g\in G$ $f(a)=f(g(a))$

Begreppet en invariant är en av de viktigaste i matematik , eftersom studien av en invariant är direkt relaterad till problemen med att klassificera objekt av en eller annan typ. I grund och botten är målet för varje matematisk klassificering att bygga ett komplett system av invarianter (om möjligt det enklaste), det vill säga ett sådant system som separerar två icke-ekvivalenta objekt från den betraktade mängden [1] .

Invarianter används inom olika områden av matematiken som geometri , topologi och algebra . Upptäckten av invarianter är ett viktigt steg i processen att klassificera matematiska objekt.

Exempel

Arean av en triangel är invariant under isometrier av euklidiska rymden .
Kardinaliteten av en mängd är invariant under bijektioner .
Matrisens determinant , spår , egenvektorer och egenvärden är invarianta under valet av bas.
I teorin om differentialekvationer är en invariant en funktion som beror på den önskade funktionen, vars värde är konstant ( den första integralen ).
Lebesgue-måttet är oföränderligt under skift.
Matrix singularvärden är invarianta under ortogonala transformationer .
Teorin om invarianter handlar om sökandet efter invarianta polynom (eller helt enkelt "invarianter" ) och studiet av den algebra som bildas av dem för fallet med linjära representationer av algebraiska grupper, såväl som algebraiska gruppers handlingar på algebraiska varianter.
Topologisk invariant - se Ordlista över allmänna topologitermer .
Invarianta problem representerar en stor klass av problem i Olympiadens matematik .
Hadwigertalet och det kromatiska talet är grafinvarianter under omnumrering av dess hörn.
Invarianten för en elliptisk kurva är talet . Se GOST 34.10-2018 . $J(E)=1728{\frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}{\pmod {p}}$

Anteckningar

↑ V. L. Popov . Invariant // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2 . - S. 526 .

Litteratur

Dieudonné J. , Carroll J., Mumford D. Geometrisk invariantteori. — M .: Mir, 1974. — 278 sid.