Incident (geometri)

En incidensrelation är en binär relation mellan två olika typer av objekt. Detta inkluderar begrepp som kan uttryckas med fraser som "en punkt ligger på en linje" eller "en linje tillhör ett plan". Den mest signifikanta incidensrelationen är mellan punkten P och linjen l , som skrivs som P I l . Om P I l kallas paret ( P , l ) en flagga . I vardagsspråket finns det många uttryck som beskriver infallsförhållandet (till exempel går en linje genom en punkt, en punkt ligger på ett plan, etc.), men termen "incident" är att föredra, eftersom det inte innebär ytterligare samtidiga begrepp och kan användas symmetriskt , vilket återspeglar symmetriegenskapen hos ett förhållande. Påståenden som "linje l 1 skär linje l 2 " är också påståenden om incidensrelationen, men i det här fallet är det lättare att säga: "det finns en punkt P som faller på både linjerna l 1 och l 2 ". När en typ av objekt kan ses som en uppsättning av objekt av en annan typ ( nämligen ett plan är en uppsättning punkter), kan incidensrelationen ses som en inneslutning.

Påståenden av formen "vilka som helst av två linjer i planet skär varandra" kallas incidenspåståenden . Sådana påståenden är sanna i projektiva plan , men inte i euklidiska , där linjer kan vara parallella . Historiskt föreslogs projektiv geometri för att incidenspåståendet skulle vara sant utan undantag. Ur syntetisk geometris synvinkel bör projektiv geometri skapas med hjälp av sådana uttalanden som axiom . Detta tillvägagångssätt är mycket viktigt för projektiva plan med tanke på giltigheten av Desargues sats för högre dimensioner.

Den analytiska metoden, däremot, definierar ett projektivt utrymme baserat på linjär algebra med hjälp av ett homogent koordinatsystem . Incidensrelationen härleds från följande grundläggande resultat för vektorrum : givna delrymden U och W i ett vektorrum V (av ändlig dimension), dimensionen för deras skärningspunkt är dim U + dim W − dim ( U + W ) . Om vi tar med i beräkningen att den geometriska dimensionen av det projektiva utrymmet P ( V ) associerat med V är lika med dim V − 1 , och att den geometriska dimensionen för varje delrum är positiv, blir den grundläggande incidenssatsen under dessa förhållanden: linjära delrum L och M i det projektiva utrymmet P skär varandra förutsatt att dim L + dim M ≥ dim P [1]

Följande avsnitt behandlar projektiva plan definierade över fält . Sådana plan betecknas ofta som PG(2, F ) eller P 2 F , där F är ett fält. Dessa överväganden kan dock naturligt utvidgas till utrymmen med högre dimensioner, och fältet kan ersättas med en kropp , med hänsyn till att i detta fall kommer multiplikationen inte att vara kommutativ .

PG(2, F )

Låt V vara ett tredimensionellt vektorrum definierat över ett fält F . Det projektiva planet P ( V ) = PG(2, F ) består av endimensionella vektordelrum av V , som kallas punkter , och tvådimensionella vektordelrum av V , som kallas linjer . Definitionen förutsätter att alla delutrymmen som behandlas innehåller en särskiljande punkt. Förekomsten av en punkt och en linje bestäms av att ett endimensionellt delrum tillhör ett tvådimensionellt.

Om vi fixar basen V , så kan vi beskriva vektorerna som koordinattrippel (med avseende på basen). Ett endimensionellt vektorunderrum består av en icke-noll vektor och alla vektorer som erhålls från den genom multiplikation med en (icke-noll) skalär. Alla sådana vektorer, skrivna som koordinattrippel, motsvarar koordinaterna för en given punkt i ett homogent koordinatsystem. Med avseende på en fast bas, lösningsutrymmet för den linjära ekvationen {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } är ett tvådimensionellt delrum av rymden V , och är därför en linje i P ( V ) . Denna linje kan betecknas med koordinaterna för linjen [ a , b , c ] , som också är homogena koordinater, eftersom multiplikation med en skalär som inte är noll ger samma linje. Andra beteckningar används också i stor utsträckning. Punktkoordinater kan skrivas som kolumnvektorer ( x , y , z ) T , med kolon ( x : y : z ) eller med index ( x , y , z ) P . Följaktligen kan koordinaterna för en linje skrivas som radvektorer ( a , b , c ) , med kolon [ a : b : c ] eller med index ( a , b , c ) L. Andra beteckningar är också möjliga.

Algebraiskt uttryck för incidens

Givet en punkt P = ( x , y , z ) och en linje l = [ a , b , c ] , skrivna i termer av punktens och linjens koordinater, faller punkten in mot linjen (skrivs ofta som P I l ) om och bara om

ax + by + cz = 0 .

I annan notation kan detta uttryckas som:

ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P} =

=[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matris)) \right)=0.

Oavsett notation, när de homogena koordinaterna för en punkt och en linje betraktas som två ordnade trippel, uttrycks förekomsten av en linje och en punkt som likheten mellan deras skalära produkt och noll.

Incident till ett rakt par distinkta punkter

Låt ett par olika punkter P 1 och P 2 ges med homogena koordinater ( x 1 , y 1 , z 1 ) respektive ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Dessa punkter definierar en enda rät linje l med en ekvation av formen , som måste uppfylla ekvationerna: $axe+by+cz=0$

ax_{1}+by_{1}+cz_{1}=0

ax_{2}+by_{2}+cz_{2}=0

I matrisform kan detta system skrivas om som

\left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right) \left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right ).

Detta system har en icke-trivial lösning om och endast om determinanten är noll

\left|{\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matris}}\right| =0.

Att expandera denna ekvation för determinanten ger homogena linjära ekvationer, som måste vara ekvationen för den räta linjen l . Således, upp till en konstant faktor som inte är noll, har vi , där $l=[a,b,c]$

{\displaystyle a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1))

{\displaystyle b=x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2))

{\displaystyle c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1))

När det gäller den blandade produkten av vektorer kan ekvationen för en rät linje skrivas om som

P\cdot P_{1}\ gånger P_{2}=0

var är en poäng. $P=(x,y,z)$

Kolinearitet

Punkter som faller in på en linje kallas kollinjära . Mängden av alla punkter som faller på en linje kallas ett projektivt segment .

Om P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ), P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) och P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) så är dessa punkter kolinjära om och endast då när

\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{ 3}\end{matris}}\right|=0,

det vill säga om och endast om determinanten för homogena koordinater är lika med noll.

Skärning av par av linjer

Låt ett par distinkta linjer och ges . Då blir linjernas skärningspunkt punkten , som är en samtidig lösning (upp till en konstant faktor) av systemet med linjära ekvationer $l_{1}=[a_{1},b_{1},c_{1}]$ $l_{2}=[a_{2},b_{2},c_{2}]$ $l_{1}$ $l_{2}$ $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$

a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0

och

a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0

Att lösa dessa ekvationer ger

{\displaystyle x_{0}=b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1))

{\displaystyle y_{0}=a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2))

och

{\displaystyle z_{0}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1))

Alternativt kan du betrakta en annan linje som går genom punkten P , det vill säga att de homogena koordinaterna för punkten P uppfyller ekvationen $l=[a,b,c]$

axe+by+cz=0

Genom att kombinera denna ekvation med ekvationerna som definierar punkten P , kan vi se en icke-trivial lösning på matrisekvationen

\left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right) \left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right ).

En sådan lösning är endast möjlig när

\left|{\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right| =0.

Koefficienterna a , b och c i ekvationen ger de homogena koordinaterna för punkten P.

Den allmänna ekvationen för en rät linje som går genom punkten P , i blandad produktnotation, ser ut som

l\cdot l_{1}\times l_{2}=0

Korsning

Uppsättningen av alla linjer i planet som faller in i samma punkt kallas pennan av linjer centrerade vid den punkten. Beräkningen av skärningspunkten mellan två linjer visar att hela pennan bestäms av två linjer som skär varandra vid en given punkt. Detta innebär omedelbart att det algebraiska villkoret för skärningen av tre linjer i en punkt är lika med noll för determinanten $[a_{1},b_{1},c_{1}],[a_{2},b_{2},c_{2}],[a_{3},b_{3},c_{ 3}]$

\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{ 3}\end{matris}}\right|=0.

Se även

Anteckningar

↑ ( Broida, Williamson 1998 ) Satsen säger att dim ( L + M ) = dim L + dim M − dim ( L ∩ M ) . Då dim L + dim M > dim P innebär att dim ( L ∩ M ) > 0 .

Litteratur

Dorwart Harold L. Förekomstens geometri. — Prentice Hall , 1966.
Broida Joel G., Williamson S. Gill. En omfattande introduktion till linjär algebra . - Addison-Wesley , 1998. - S. 86 Sats 2.11. — ISBN 0-201-50065-5 .