Koncykliska punkter

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 januari 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Koncykliska punkter (eller homocykliska punkter ) - punkter som ligger på samma cirkel . Tre punkter på planet som inte ligger på samma linje ligger alltid på samma cirkel, så ibland används termen "koncyklisk" endast på uppsättningar av 4 eller fler punkter. [ett]

Midperpendiculars

I allmänhet måste centrum O i cirkeln på vilken punkterna P och Q ligger vara sådant att avstånden OP och OQ är lika. Därför måste punkten O ligga på medianvinkeln (eller på mediatrixen) av segmentet PQ . [2] . En nödvändig och tillräcklig förutsättning för att n olika punkter ska ligga på samma cirkel är att n ( n  − 1)/2 mediatriser av segmenten, som har några par av n punkter som sina ändar, alla skär varandra samtidigt i en punkt, nämligen: mitten O. _

Inskrivna polygoner

Trianglar

Topparna av varje triangel ligger på en cirkel [3] . En cirkel som går genom 3 hörn i en triangel kallas triangelns omskrivna cirkel . Flera andra uppsättningar punkter som definieras från triangeln ligger också på samma cirkel, det vill säga de är koncykliska punkter; se Euler cirkel [4] och Leicester cirkel . [5]

Radien för en cirkel som innehåller en uppsättning punkter är, per definition, radien för den omskrivna cirkeln i en triangel med hörn vid vilka tre av dessa punkter som helst. Om det parvisa avståndet mellan någon av dessa tre punkter a , b , och c , så är cirkelns radie

Ekvationen för den omskrivna cirkeln för en triangel och uttrycket för radien och koordinaterna för cirkelns centrum i termer av de kartesiska koordinaterna för hörnen ges här .

Quadrangles

Fyrhörning ABCD med hörn som ligger på samma cirkel kallas inskriven ; detta händer om och endast om (av cirkelinskrivna vinkelsatsen), vilket är sant om och endast om de motsatta vinklarna på fyrhörningen kompletterar varandra upp till 180 grader. [6] En inskriven fyrhörning med på varandra följande sidor a , b , c , d och semiperimeter s = ( a + b + c + d )/2 har en omsluten radie på [7] [8]

Detta uttryck erhölls av den indiske matematikern Vatasseri Parameswara på 1400-talet.

Enligt Ptolemaios sats kommer en fyrhörning som ges av de parvisa avstånden mellan dess fyra hörn A , B , C , respektive D , att inskrivas om och endast om produkten av dess diagonaler är lika med summan av produkterna från motsatta sidor:

Om två linjer, varav den ena innehåller segmentet AC och den andra innehåller segmentet BD , skär varandra i en punkt "X", så är dessa fyra punkter A , B , C , D koncykliska punkter om och endast om [9]

Skärningspunkten X kan vara antingen inom eller utanför den omskrivna cirkeln. Denna sats är känd som punktpotenssatsen .

n-gons

I allmänhet kallas en n - gon vars hörn alla ligger på samma cirkel en inskriven polygon . En polygon är en inskriven polygon om och bara om alla vinkelräta bisektrar på dess sidor skär varandra i en punkt. [tio]

Anteckningar

  1. ↑ Efremov, 1902 , sid. 34.
  2. ↑ Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry , Jones & Bartlett Learning, s. 21, ISBN 9780763743666 , < https://books.google.com/books?id=6YUUeO-RjU0C&pg=PA21 > Arkiverad 9 juli 2021 på Wayback Machine / 
  3. ↑ Elliott, John (1902), Elementary Geometry , Swan Sonnenschein & co., sid. 126 , < https://books.google.com/books?id=9psBAAAAYAAJ&pg=PA126 > Arkiverad 9 juli 2021 på Wayback Machine . 
  4. ↑ Isaacs, I. Martin (2009), Geometry for College Students , vol. 8, Pure and Applied Undergraduate Texts, American Mathematical Society, sid. 63, ISBN 9780821847947 , < https://books.google.com/books?id=0ahK8UneO3kC&pg=PA63 > Arkiverad 9 juli 2021 på Wayback Machine . 
  5. ↑ Yiu, Paul (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations , Forum Geometricorum vol. 10: 175–209 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201020.pdf > Arkiverad kopia daterad 7 oktober 2021 på Wayback Machine . 
  6. ↑ Pedoe, Dan (1997), Circles: A Mathematical View (2nd ed.), MAA Spectrum, Cambridge University Press, sid. xxii, ISBN 9780883855188 , < https://books.google.com/books?id=rlbQTxbutA4C&pg=PR22 > Arkiverad 9 juli 2021 på Wayback Machine . 
  7. ↑ Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), On the diagonals of a cyclic quadrilateral , Forum Geometricorum vol. 7: 147–9 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf > Arkiverad kopia daterad 11 juli 2021 på Wayback Machine 
  8. ↑ Hoehn, Larry (mars 2000), Circumradius of a cyclic quadrilateral, Mathematical Gazette vol 84 (499): 69–70 
  9. ↑ Bradley, Christopher J. (2007), Geometrins algebra: kartesiska, areella och projektiva koordinater , Highperception, sid. 179, ISBN 1906338000 , OCLC 213434422 
  10. ↑ Byer, Owen; Lazebnik, Felix & Smeltzer, Deirdre L. (2010), Methods for Euclidean Geometry , Mathematical Association of America, sid. 77, ISBN 9780883857632 , < https://books.google.com/books?id=W4acIu4qZvoC&pg=PA77 > Arkiverad 9 juli 2021 på Wayback Machine . 

Litteratur