Skevt arbete

Den krökta produkten av riemannska och pseudo-riemannska grenrör är en generalisering av den direkta produkten .

Definition

Låt och vara två pseudo-riemannska grenrör och en jämn positiv funktion. Då kallas produkten med måtten för den krökta produkten och av funktionen . Mer exakt kan tangentutrymmet identifieras med produkten av tangentutrymmen , och därför är det möjligt att överväga en direkt summa av kvadratiska former på den, och den definieras som en metrisk tensor vid en punkt . $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $f\colon B\to \mathbb {R}$ $B\times F$ $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $f$ $\mathrm {T} _{(b,x)}(B\ gånger F)$ $\mathrm {T} _{b}B\times \mathrm {T} _{x}F$ $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ $(b,x)$

Den tvinnade produkten betecknas vanligtvis med . $(B\ gånger F,g\oplus (f^{2}\cdot h))$ $F{\mathrel {{\times }_{f))}B$

Funktionen kallas även för warp-funktionen . Utrymmet kallas basen, och utrymmet kallas lagret av den krökta produkten . $f$ $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $F{\mathrel {{\times }_{f))}B$

Egenskaper

Varje lager i är isometriskt . $b\times F\subset B\times F$ $F{\mathrel {{\times }_{f))}B$ $f(b)\cdot F=(F,f^{2}(b)\cdot h)$
Varje nivå är globalt isometrisk till basen . $B\times x\subset B\times F$ $B=(B,g)$
Avstånd mellan punkter bestäms helt av basen , två punkter , en funktion och avståndet mellan och i lagret . $(b_{1},x_{1}),(b_{2},x_{2})\in F{\mathrel {{\times }_{f))}B$ $B=(B,g)$ $b_{1},b_{2}\in B$ $f\colon B\to \mathbb {R}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $F$

Exempel

Den krökta produkten är isometrisk med Lobachevsky-planet . $\mathbb {R} {\mathrel {{\times }_{\exp ))}\mathbb {R}$
Rotationsytan är alltid isometrisk för den skeva produkten för en viss varpfunktion och ett riktigt intervall . $\mathbb {S} ^{1}{\mathrel {{\times }_{f))}\mathbb {I}$ ${\mathbb {I}}$
Många lösningar på Einsteins ekvation kan representeras som krökta produkter, till exempel,
- Schwarzschild metrisk ,
- Friedmans universum .

Variationer och generaliseringar

Den böjda produkten generaliserar på ett naturligt sätt till produkter av metriska utrymmen med inneboende metrik . [ett]

Anteckningar