Petrovs klassificering

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 oktober 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Petrov-klassificeringen (ibland Petrov-Pirani-klassificeringen , sällan Petrov-Pirani-Penrose-klassificeringen ) beskriver de möjliga algebraiska symmetrierna för Weil-tensoren för varje händelse på ett pseudo-Riemann- grenrör .

Denna klassificering används mest aktivt i studiet av exakta lösningar av Einsteins ekvationer , även om det generellt sett är ett abstrakt matematiskt resultat som inte beror på någon fysisk tolkning. Klassificeringen föreslogs först 1954 av A.Z. Petrov och 1957 oberoende av Felix Pirani .

Klassificeringssatsen

En rang 4 -tensor med antisymmetri i det första och andra indexparet, till exempel Weil-tensorn , vid varje punkt av grenröret kan representeras som en linjär operator : agerar i vektorutrymmet för bivectors : $C$ $T_{{p}}\ gånger T_{{p}}\högerpil T_{{p}}\ gånger T_{{p}}$

X^{{ab}}\högerpil {\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}X^{{mn}}

I detta fall är det naturligt att ställa problemet med att hitta egenvärden och egenvektorer (eller egenbivektorer ) så att $\lambda$ $X^{{ab}}$

{\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}\,X^{{mn}}=\lambda \,X^{{ab}}

I fyrdimensionella pseudo-riemannska grenrör vid varje punkt är utrymmet för bivektorer sexdimensionellt. Symmetrierna hos Weyl-tensorn begränsar emellertid dimensionen av utrymmet för egenbivektorer till fyra. Således kan Weil-tensorn vid en given punkt ha högst fyra linjärt oberoende egenbivektorer.

Precis som i den vanliga egenvektorteorin för en linjär operator , kan egenbivektorerna för Weyl-tensoren vara multipla. Mångfalden av egenbivektorer indikerar ytterligare algebraisk symmetri för Weyl-tensorn vid en given punkt; detta betyder att symmetritypen för Weyl-tensorn kan bestämmas genom att lösa en fjärde ordningens ekvation för dess egenvärden.

Weyl-tensorens egenbivektorer är associerade med vissa isotropa vektorer på grenröret, som kallas de huvudsakliga isotropiska riktningarna (vid en given punkt). Klassificeringssatsen säger att det finns exakt sex möjliga typer av algebraisk symmetri, som är kända som Petrov-typer :

Typ I : fyra isotropa huvudriktningar,
Typ II : en dubbel och två enkla isotropa huvudriktningar,
Typ D : två dubbla isotropiska riktningar,
Typ III : en trippel och en enda remiss,
Typ N : en isotrop riktning med en multiplicitet av 4,
Typ O : Weyl-tensorn är noll.

Weyl-tensoren av typ I (vid en punkt) sägs vara algebraiskt allmän ; Tensorer av andra typer kallas algebraiskt speciella . Olika punkter i rum-tid kan ha olika Petrov-typ. De möjliga övergångarna mellan Petrov-typer visas i figuren, vilket också kan tolkas som att vissa Petrov-typer är mer speciella än andra. Till exempel kan typ I , den vanligaste typen, degenerera till typ II eller D , medan typ II kan degenerera till typ III , N eller D.

Bels kriterier

För en pseudo-Riemannian (Lorentzian) manifold kan Weil-tensorn beräknas från den metriska tensorn . Om Weil-tensorn vid något tillfälle är algebraiskt speciell , så finns det en effektiv uppsättning regler (upptäckt av Louis Bel) för att bestämma Petrov-typen vid punkten . Beteckna komponenterna i Weyl-tensorn vid en punkt med (och anta att de inte är noll, dvs. det är inte typ O ), då kan Behl-kriterierna uttryckas på följande sätt: $M$ $p\in M$ $sid$ $sid$ $C_{{abcd}}$

$C_{{abcd}}$ är av typ N om och endast om det finns en unik (upp till en faktor) isotrop vektor som uppfyller $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{d}=0

Om den inte tillhör typ N , så tillhör den typ III om och endast om det finns en unik (upp till en faktor) isotrop vektor som uppfyller $C_{{abcd}}$ $C_{{abcd}}$ $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=0

$C_{{abcd}}$ är av typ II om och endast om det finns en unik (upp till en faktor) isotrop vektor som uppfyller $k$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

och ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

$C_{{abcd}}$ är av typ D om och endast om det finns två linjärt oberoende isotropa vektorer , , som uppfyller villkoren: $k$ $k'$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

, ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

och

C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}

, ( ).

{}^{*}C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}

\gamma \delta \neq 0

var är tensorn dual till Weil-tensorn vid punkten . ${{}^{*}C}_{{abcd}}$ $sid$

Bels kriterier används i allmän relativitet, det vill säga Petrov-typen för den algebraiskt speciella Weyl-tensorn hittas med hjälp av nollvektorer.

Fysisk tolkning

Enligt allmän relativitetsteori har Petrovs algebraiskt speciella typer en intressant fysisk tolkning, så deras klassificering kallas ofta klassificeringen av gravitationsfält .

Typ D- fältområden är associerade med gravitationsfälten hos isolerade massiva himlakroppar som stjärnor. Mer exakt uppstår fält av D- typ runt stationära objekt som endast har massa och rörelsemängd som fysiska egenskaper. (En mer komplex dynamisk kropp har multipolmoment som inte är noll .) De två huvudsakliga isotropiska riktningarna definierar två "radiellt" konvergerande och divergerande isotropa familjer nära den graviterande kroppen.

Den elektrogravitationstensor (eller tidvattentensor ) i D- typ regioner är analog med gravitationsfält, som beskrivs av Newtonsk gravitation med en Coulomb- typ gravitationspotential . Ett sådant tidvattenfält kännetecknas av förlängning i en riktning och kompression i ortogonala riktningar; egenvärden har ett karakteristiskt mönster (-2,1,1). Till exempel upplever en satellit i omloppsbana runt jorden lätt radiell expansion och lätt ortogonal kompression. Liksom i Newtons gravitation minskar tidvattenfältet som, var är avståndet från den graviterande kroppen. $O(r^{{-3}})$ $r$

Om kroppen roterar runt någon axel, kommer förutom tidvatteneffekter att uppstå olika gravitomagnetiska effekter , såsom spin-spin-interaktion som verkar på observatörens gyroskop . I Kerr-vakuumet , som är ett typiskt exempel på ett typ D- vakuumfält , avtar denna del av fältet som . $O(r^{{-4}})$

Typ III - regioner är associerade med den longitudinella delen av det tidsvarierande gravitationsfältet (kallas ibland longitudinell gravitationsstrålning). I dessa områden har tidvattenkrafter karaktären av förskjutningar. Detta är en ganska lite studerad typ av fält, delvis på grund av att gravitationsstrålningen som uppstår i den svaga fältapproximationen är av typ N , eftersom typ III -fältet minskar med , det vill säga mycket snabbare än typ N -strålning , och följaktligen inte lämna källan. $O(r^{{-2}})$

Regioner av N-typ är förknippade med tvärgående gravitationsstrålning , som astronomer upptäckte 2015 . Den fyrfaldiga isotropiska riktningen motsvarar vågvektorn som beskriver strålningsutbredningsriktningen. Strålningsamplituden minskar vanligtvis som , så gravitationsfältet för en avlägsen källa är alltid strålande och har typ N . $O(r^{{-1}})$

Typ II kombinerar effekterna av typ D , III , och N -fält på ett ganska komplext icke-linjärt sätt.

Regioner av typ O , eller konformt euklidiska regioner, är zoner där Weil-tensorn är identiskt lika med noll. I detta fall är krökningstensorn ren Ricci . I konformt euklidiska områden uppstår gravitationseffekter endast på grund av den momentana närvaron av materia eller energi från något icke-gravitationsfält ( till exempel ett elektromagnetiskt fält ). På sätt och vis betyder detta att eventuella avlägsna objekt inte påverkar händelser i detta område; Närmare bestämt, om det finns någon gravitationsdynamik i avlägsna regioner, har nyheterna om det ännu inte nått den konforma euklidiska zonen som övervägs.

Gravitationsfältet, och i förlängningen gravitationsstrålningen , som emitteras av ett isolerat system kommer i allmänhet inte att vara algebraiskt speciellt på ett ändligt avstånd från källan. Splittringssatsen beskriver hur olika typer av fält "delas av" när observatören rör sig bort från strålningskällan, tills endast N -typsstrålning finns kvar på långa avstånd . Ett liknande teorem finns inom elektromagnetism.

Exempel

För vissa exakta lösningar av Einsteins ekvationer har Weyl-tensoren samma typ vid varje världspunkt :

Kerr-metriken i vakuum är av typ D ,
Robinson-Trautman rymd - typ III ,
pp-vågor är av typ N ,
Friedman-Robertson-Walker-måttet är typ O överallt .

I allmänhet måste en godtycklig sfäriskt symmetrisk rumtid vara algebraiskt speciell, och all statisk rumtid måste vara av typ D .

Litteratur

Från relativitetssektionen Arkiverad 14 juli 2007 på Wayback Machine i World of Mathematical Equations -- EqWorld Arkiverad 3 oktober 2008 på Wayback Machine :