Bordism

Bordism , även bordism - en topologiterm , använd ensam eller som en del av standardfraser i flera besläktade betydelser, i nästan alla av dem istället för bordism innan de pratade om kobordism , den gamla terminologin bevarades också.

Oorienterade gränser

Oriktade bordismer är den enklaste varianten av bordismer. Två släta slutna -dimensionella grenrör och är gränsöverskridande (begränsa eller internt homologa) om det finns en slät kompakt -dimensionell grenrör (kallad film ) vars gräns består av två grenrör och , (eller mer exakt grenrör och diffeomorfa, respektive, och genom vissa diffeomorfismer och ). Uppsättningen av grenrör som gränsar till varandra kallas bordismklasser , och trippeln kallas bordism (det skulle vara mer korrekt att tala om fem ). $n$ $M$ $M'$ $(n+1)$ $W$ $M$ $M'$ $M_{0}$ $M_{1}$ $M$ $M'$ $g_{0}\colon M\to M_{0}$ ${\displaystyle g_{1}\colon M'\to M_{1))$ $(W,\;M_{0},\;M_{1})$ $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$

Uppsättningen av bordismklasser av dimensionella grenrör bildar en abelsk grupp av relativt frånkopplad förening , kallad bordismgruppen . Noll i det är klassen av bordismer, som består av mångfalder som är gränsen för något mångfald (andra namn: - begränsande mångfald , - internt homolog , eller bordant till noll). Elementet omvänt till en given klass av bordismer är denna klass själv (eftersom föreningen av två kopior är diffeomorf till gränsen för den direkta produkten ). Den direkta summan av grupper är en kommutativ graderad ring vars multiplikation induceras av den direkta produkten av grenrören, med enheten given av punktens bordismklass. $n$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M\times [0,\;1]$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{O}$

Bordisms med ytterligare struktur

Oriented bordisms

Orienterade bordisms är den enklaste typen av bordisms av släta slutna grenrör med ytterligare struktur. Två orienterade grenrör och är orienterade bordanta om de är bordanta i den förra bemärkelsen, och filmen är orienterad, och (i den tidigare notationen) orienteringen som induceras av orienteringen på och (som på delar av gränsen) passerar under diffeomorfismer och , till den initiala orienteringen respektive till orienteringen , motsatt den ursprungliga orienteringen . På liknande sätt introduceras grupper av orienterade bordismer och en annulus . $M$ $M'$ $W$ $W$ $M_{0}$ $M_{1}$ $g_{0}$ $g_{1}$ $M$ $M'$ $\Omega _{n}^{O}$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{SO}$ $\Omega _{*}^{SO}$

Andra alternativ

Andra varianter av grenrör av grenrör med ytterligare struktur är de mycket viktiga gränserna av kvasikomplexa grenrör (även kallade enhetliga gränser), gränserna av grenrör som en grupp av transformationer verkar på är bordismer. Det finns också varianter av något annat slag, för styckvis linjära eller topologiska grenrör, för Poincaré-komplex etc. En särställning intar foliationsbordismer och -bordismer (tidigare kallade -ekvivalenser); de senare tjänar till att länka differentiell och homotopi topologi. $\mathrm {Snurra}$ $J$

Egenskaper

Två grenrör är gränsöverskridande om och endast om de har samma karakteristiska nummer ( Stiefel-Whitney-tal i det icke-orienterbara fallet och Stiefel-Whitney- tal och Pontryagin-tal i det orienterbara fallet ).

Historik

Det första exemplet är bordism av inramade grenrör som introducerades 1938 av Pontryagin , som visade att klassificeringen av dessa bordismer är likvärdig med att beräkna homotopigrupperna av sfärer , och på detta sätt kunde hitta och . Oorienterade och orienterade bordismer infördes 1951-53 av Rokhlin som räknade med . Pontryagin bevisade att om två grenrör är gränsöverskridande, så har de samma karakteristiska nummer . Senare visade det sig att det motsatta också är sant. $\pi _{i}(S^{n})$ $\pi _{n+1}(S^{n})$ $\pi _{n+2}(S^{n})$ $\Omega _{n}^{SO}$ $n\leqslant 4$

Litteratur

Milnor J., Wallace A. Differentiell topologi / Per. från engelska. — M .: Mir, 1972. — 280 sid.

Se även

$h$ -kobordism