Eddington-Finkelstein koordinater

Eddington-Finkelstein- koordinaterna är ett par koordinatsystem för Schwarzschild-metriken (sfäriskt symmetriskt svart hål ), som är anpassat för nollgeodesik . Nollgeodesiken är världslinjen för fotoner ; radiell geodetik är de längs vilka fotoner färdas direkt mot eller bort från den centrala massan. Detta par är uppkallat efter Arthur Stanley Eddington [1] och David Finkelstein [2] . De tros ha föreslagit idén, men ingen av dem har någonsin explicit skrivit ner dessa koordinater eller måtten. Även om Roger Penrose [3] var den första att skriva ner det, tillskrivs Finkelstein, i artikeln som citeras ovan, och Eddington och Finkelstein i sin uppsats för Adams-priset, upptäckten av koordinaterna senare samma år. De mest inflytelserika Charles Misner , Kip Thorne och John Wheeler hänvisar till dessa koordinater under detta namn i sin bok Gravity [4] .

I dessa koordinatsystem definierar de radiella ljusstrålarna, var och en efter en noll geodetisk när de rör sig bort från eller mot mitten, ytor med konstant "tid", medan den radiella koordinaten är den vanliga koordinaten för rymden, så att ytorna är tvärgående till den radiella koordinaten, har rotationssymmetri med en area på 4π r 2 . En fördel med detta koordinatsystem är att det visar att den uppenbara egenskapen vid Schwarzschild-radien endast är en koordinatsingularitet , inte en sann fysisk singularitet. Även om detta faktum erkändes av Finkelstein, erkändes det inte (eller åtminstone inte kommenterades) av Eddington, vars huvudsakliga mål var att jämföra och kontrastera de sfäriskt symmetriska lösningarna i Whiteheads gravitationsteori och Einsteins version av relativitet.

Schwarzschild-metrisk

Schwarzschild-koordinater kallas koordinaterså att i dessa koordinater skrivs Schwarzschild-metriken som: $(t,r,\theta ,\varphi )$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r} }\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

var

{\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

standardmåttet Riemann för en tvådimensionell sfär.

Följande konventioner används här: metrisk signatur (− + + +) och naturliga enheter , där c = 1 är ljusets dimensionslösa hastighet, G är gravitationskonstanten och M är den karakteristiska massan för Schwarzschild-geometrin.

Sköldpaddas koordinat

Eddington-Finkelstein-koordinaterna är baserade på sköldpaddskoordinaten [4] , som kommer från en av Zenos paradoxer om en imaginär kapplöpning mellan "snabbfotad" Akilles och en sköldpadda .

Sköldpaddskoordinaten definieras enligt följande [4] : $r^{*}$

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\,,

som uppfyller:

{\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,.

Sköldpaddskoordinaten närmar sig när den närmar sig Schwarzschild-radien . $r^{*}$ $-\infty$ $r$ $2GM$

När någon sond (till exempel en ljusstråle eller en observatör) närmar sig händelsehorisonten för ett svart hål, ökar dess Schwarzschild-tidskoordinat till oändlighet. Noll geodetiska linjer som går till oändligheten i detta koordinatsystem har en oändlig förändring i t när de går bortom horisonten. Sköldpaddans koordinat växer oändligt med lämplig hastighet och eliminerar enstaka beteenden i koordinatsystem som bygger på dess bas.

Att öka tidskoordinaten till oändligt när du närmar dig händelsehorisonten är anledningen till att information från någon sond som skickas genom en sådan händelsehorisont inte kan returneras. Och detta trots att själva sonden dock kan röra sig bortom horisonten. Detta är också anledningen till att rum-tidsmetriken för ett svart hål, uttryckt i Schwarzschild-koordinater, blir singulär vid horisonten – och därmed inte kan användas för en fullständig (över hela området av rymden) bild av den fallande sondens bana.

Metrisk

Det krympande Eddington-Finkelstein-koordinatsystemet erhålls genom att ersätta t -koordinaten med en ny koordinat . I dessa koordinater kan Schwarzschild-metriken skrivas som [5] $v=t+r^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,,

där det antas att

{\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

standardmåttet Riemann på den tvådimensionella sfären med enhetsradie.

På liknande sätt erhålls det expanderande Eddington-Finkelstein-koordinatsystemet genom att ersätta t med en ny koordinat . Då ges måtten av uttrycket [6] $u=tr^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,.

I båda dessa koordinatsystem har metriken uppenbarligen ingen singularitet vid Schwarzschild-radien (även om en komponent försvinner vid den radien, försvinner fortfarande inte metrikens determinant, och det inversa måttet har heller inga divergerande termer vid den punkten) . Det expanderande koordinatsystemet beskriver utstötningen av partiklar från centrum utanför gravitationsradien, men när man försöker använda det för fallande partiklar innanför gravitationsradien uppstår en singularitet som liknar Schwarzschild. För ett sammandragande koordinatsystem har inkommande partiklar innanför gravitationsradien ingen singularitet, men en singularitet uppstår när man försöker beskriva utgående partiklar utanför gravitationsradien. Ett krympande koordinatsystem används för att beskriva gravitationskollaps [7] .

För nollytor v=const eller =const , eller ekvivalent =const eller u=const , visar det sig att dv/dr och du/dr närmar sig 0 och ± 2 vid stora r , snarare än ± 1, som man kan förvänta sig, om vi betraktar u eller v som "tid". När man konstruerar Eddington-Finkelstein-diagram ritas ytor med konstant u eller v vanligtvis som koner, och konstanta u- eller v -linjer ritas som 45-graders lutande, inte som plan [8] . Vissa källor använder istället ersättning , vilket motsvarar plan i sådana diagram. I dessa koordinater (för ) blir måttet $v-2r^{*}$ $u+2r^{*}$ $t'=t\pm (r^{*}-r)\,$ $t'$

{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt' \,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2} +dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r))(dt'\pm dr)^{2))

som blir Minkowski för stora r . Dessa tidskoordinater och -mått presenterades av Eddington och Finkelstein i sina uppsatser.

Eddington-Finkelstein-koordinaterna är fortfarande ofullständiga och kan förlängas. Att flytta till oändligheten är till exempel en tidsliknande geodetik, definierad (med rätt tid ) $\tau$

r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}

{\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aligned}}

har v ( τ )→−∞ som τ → 2GM . Det vill säga, denna tidsliknande geodetik har en ändlig längd till det förflutna, där den lämnar horisonten ( r = 2 GM ) när v närmar sig . Domänerna för finita v och r < 2 GM skiljer sig från de för finita u och r < 2 GM . En horisont med r = 2 GM och en slutlig v ( svart håls horisont ) skiljer sig från en horisont med r = 2 GM och slutlig u ( vitt håls horisont ). $-\infty$

Metriken i Kruskal-Szekeres koordinater täcker hela den utökade Schwarzschilds rumtid i ett enda koordinatsystem. Dess största nackdel är att i dessa koordinater beror metriken på både tidsmässiga och rumsliga koordinater. I Eddington-Finkelstein-koordinatsystemet, liksom i Schwarzschild-koordinaterna, är metriken inte beroende av "tid" (antingen t i Schwarzschild, eller u eller v i olika Eddington-Finkelstein-koordinatsystem), men inget av dem täcker hela rummet -tid [7] .

Eddington-Finkelstein- koordinaterna har vissa likheter med Gullstrand-Painlevé -koordinaterna genom att de både är oberoende av tid och tränger in (regelbundna) in i antingen framtida (svarta hål) eller tidigare (vita hål) horisonter. Båda måtten är inte diagonala (hyperytor med konstant "tid" är inte ortogonala mot hyperytor med konstant r ). De senare har ett platt rumsmått, medan de rumsliga ('tidskonstanten') hyperytorna hos de förra är noll och har samma metrik som en ljuskon i Minkowski-rymden ( i platt rumstid). $t=\pm r$

Anteckningar

↑ Eddington A. S. (februari 1924). " Jämförelse av Whiteheads och Einsteins formler " (PDF) . Naturen . 113 (2832): 192. Bibcode : 1924Natur.113..192E . DOI : 10.1038/113192a0 . Arkiverad (PDF) från originalet 2021-11-22 . Hämtad 2021-06-26 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ David Finkelstein (1958). " Asymmetri av gravitationsfältet för en punktpartikel i det förflutna och framtiden " . Fysisk granskning . 110 : 965-967. Bibcode : 1958PhRv..110..965F . DOI : 10.1103/PhysRev.110.965 .
↑ Roger Penrose (1965). " Gravitationskollaps och rum-tidssingulariteter " . Fysiska granskningsbrev . 14 (3):57-59. Bibcode : 1965PhRvL..14...57P . DOI : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
↑ 1 2 3 Misner, Thorne & Wheeler, 1977 , sid. 24.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , sid. 25.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , sid. 26.
↑ 1 2 Misner, Thorne och Wheeler, 1977 , sid. 27.
↑ Se till exempel ruta 31.2 i Gravity.

Litteratur

Mizner C. , Thorn K. , Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3. - 510 sid.