Drucker-Prager Styrka Kriterium

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 september 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Drucker-Prager-hållfasthetskriteriet är en belastningsberoende modell som bestämmer beteendet eller felet hos vissa material under påverkan av plastisk deformation. Detta kriterium har utvecklats för att beskriva den plastiska deformationen av leriga jordar, och det kan också användas för att beskriva fel på stenig jord, betong, polymerer, skum och andra tryckberoende material.

Uppkallad efter Daniel Drucker och Prager som utvecklade denna modell 1952 [1] .

Formulering

Kriteriet beskrivs med följande formel:

{\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}

där är den första invarianten av stresstensorn , och är den andra invarianten av stresstensorns avvikare [ 2] . Konstanterna bestäms experimentellt. $I_1$ $J_{2}$ $A,B$

När det gäller ekvivalenta spänningar (eller von Mises spänningar ) och hydrostatiska spänningar , kan Drucker-Prager-kriteriet skrivas som:

{\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m))

var är den ekvivalenta spänningen, är den hydrostatiska spänningen och är materialkonstanterna. Drucker-Prager-kriteriet uttryckt i Haig-Westergaard-koordinater enligt följande: $\sigma _{e}$ ${\displaystyle \sigma _{m))$ $a,b$

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A

Drucker-Prager flytytan är en utjämnad version av Mohr-Coulombs flytyta .

Uttryck för A och B

Drucker-Prager-modellen kan skrivas i termer av huvudbelastningar:

{\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _ {2}+\sigma _{3})~.

Om den enaxliga draghållfastheten är, betyder Drucker-Prager-kriteriet: $\sigma _{t}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.

Om den ultimata styrkan i enaxlig kompression betyder Drucker-Prager-kriteriet: $\sigma _{c}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=AB~\sigma _{c}~.

När vi löser dessa två ekvationer får vi

A={\cfrac {2}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t)){\sigma _{c}+\ sigma _{t))}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c }}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.

Enaxlig asymmetrisk koefficient

Olika enaxliga drag- och tryckhållfasthetskriterier förutspåddes med Drucker-Prager-modellen. Enaxlig asymmetrisk koefficient för Drucker-Prager-modellen:

\beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B }{1+{\sqrt {3}}~B}}~.

Uttryck i termer av friktionsvinkel och kohesion

Eftersom Drucker-Prager sträckytan är en utjämnad version av Mohr-Coulombs sträckyta, uttrycks den ofta i termer av kohesion ( ) och inre friktionsvinkel ( ), som används i Mohr-Coulomb-teorin . Om vi antar att Drucker-Pragers avkastningsyta beskrivs nära Mohr-Coulombs avkastningsyta, så är uttrycken för och som följer: $c$ $\phi$ $A$ $B$

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3+\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )))

Om Drucker-Pragers avkastningsyta är inskriven i Mohr-Coulombs avkastningsyta, då

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3-\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )))

Drucker-Prager-modellen för polymerer

Drucker-Prager-modellen används för att modellera polymerer som polyformaldehyd och polypropen .[3] . För polyformaldehyd är hållfasthetskriteriet en linjär funktion av lasten. Men för polypropen finns det ett kvadratiskt beroende av belastningen.

Drucker-Prager-modellen för skum

För penna använder GAZT-modellen [4] :

A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\ vänster({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s))}\höger)

var är den kritiska spänningen för brott i spänning eller kompression, är densiteten hos skummet och är densiteten hos basmaterialet (från vilket skummet härrör). $\sigma _{y}$ $\rho$ ${\displaystyle \rho _{s))$

Uttryck för den isotropiska Drucker-Prager-modellen

Drucker-Prager-kriteriet kan också användas i en alternativ formulering:

J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.

Deshpande-Fleck hållfasthetskriterium

Deshpande-Fleck-hållfasthetskriteriet [5] för skum har formen av ovanstående ekvation. Parametrar för Deshpand-Vleck-testet $a,b,c$

a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2} }{3}}

där är en parameter [6] som bestämmer formen på sträckytan och är den slutliga drag- eller tryckhållfastheten. $\beta$ $\sigma_y$

Drucker-Prager anisotropiskt hållfasthetskriterium

Den anisotropa formen av Drucker-Prager-styrkekriteriet sammanfaller med Liu-Huang-Stout-styrkekriteriet [7] . Detta styrkekriterium uttrycks i Hills generaliserade avkastningskriterium :

{\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _ {11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^ {2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\ end{aligned}}

Koefficienterna är: $F,G,H,L,M,N,I,J,K$

{\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _ {1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2} -\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2} ^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~ ;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{ 12}^{y})^{2))}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t)){2\sigma _{1c}\sigma _{1t} }}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\ cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}

var

\Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\ Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3 }:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}

och enaxliga tryckhållfastheter i de tre huvudsakliga riktningarna anisotropi, enaxliga draghållfastheter och rena skjuvhållfastheter. Det antogs ovan att värdena är positiva och negativa. $\sigma _{ic},i=1,2,3$ $\sigma _{it},i=1,2,3$ ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y))$ ${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c))$ ${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t))$

Druckers omsättningskriterium

Drucker-Prager-kriteriet bör inte stå i konflikt med det tidigare Drucker-kriteriet [8] som är lastoberoende ( ). Drucker-kriteriet har posten $I_1$

f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0

där är spänningstensoravvikarens andra invariant, är spänningstensoravvikarens tredje invariant, är en konstant mellan −27/8 och 9/4 (så att flytytan är konvex), är en konstant som varierar beroende på . För , , var är hållfasthetskriteriet för enaxlig spänning. $J_{2}$ $J 3}$ $\alfa$ $k$ $\alfa$ $\alfa=0$ $k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}$ $\sigma_y$

Anisotropic Drucker-kriterium

Den anisotropa versionen av Drucker-avkastningskriteriet är Kazaku-Barlat-avkastningskriteriet [9] , som har formen

f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0

var är de generaliserade formerna av spänningstensoravvikaren definierade som: ${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0))$

{\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33 })^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22}) ^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{ 2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+ (b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\} \sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{ 33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{ (b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _ {33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _ {33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\ sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_ {10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2} \right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{2  2}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}

Kazaku-Barlats flytkriterium för ett planspänningstillstånd

För tunna metallplåtar kan spänningarna betraktas som i fallet med ett plant spänningstillstånd . I det här fallet reduceras avkastningskriteriet för Cazacou-Barlat till sin tvådimensionella version:

{\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^ {2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6} \sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{ 11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\right]-{\cfrac {1}{9}}\left[b_{1}\ sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\right]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\left[b_{5}\ sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{aligned}}

För tunna plattor gjorda av metall och legeringar kan parametrarna för Kazaku-Barlat avkastningskriteriet hittas i motsvarande tabeller

Tabell 1. Parametrar för Kazaku-Barlats avkastningskriterium för metaller och legeringar

Material	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{6}$	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$b_{4}$	$b_{5}$	${\displaystyle b_{10))$	$\alfa$
6016-T4 aluminiumlegering	0,815	0,815	0,334	0,42	0,04	-1,205	-0,958	0,306	0,153	-0,02	1.4
2090-T3 aluminiumlegering	1,05	0,823	0,586	0,96	1,44	0,061	-1,302	-0,281	-0,375	0,445	1,285

Anteckningar

↑ Drucker, DC och Prager, W. (1952). Markmekanik och plastanalys för gränskonstruktion . Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, nr. 2, sid. 157-165.
↑ Pisarenko G.S., Mozharovsky N.S. Ekvationer och gränsvärdesproblem för teorin om plasticitet och krypning. Referensmanual. - Kiev: Nauk. Dumka, 1981. - S. 36. - 496 sid.
↑ Abrate, S. (2008). Kriterier för eftergivande eller misslyckande av cellulärt material . Journal of Sandwich Structures and Materials, vol. 10.pp. 5-51.
↑ Gibson, L.J., Ashby, M.F., Zhang, J. och Triantafilliou, T.C. (1989). Felytor för cellulära material under multiaxiell belastning. I. Modellering . International Journal of Mechanical Sciences, vol. 31, nr. 9, sid. 635-665.
↑ V.S. Deshpande och Fleck, N.A. (2001). Multiaxiellt flytbeteende för polymerskum. Acta Materialia, vol. 49, nr. 10, sid. 1859-1866.
↑ , var är värdet som används av Deshpande och Fleck $\beta =\alpha /3$ $\alfa$
↑ Liu, C., Huang, Y. och Stout, M.G. (1997). På den asymmetriska flytytan av plastiskt ortotropa material: En fenomenologisk studie. Acta Materialia, vol. 45, nr. 6, sid. 2397-2406
↑ Drucker, DC (1949) Relationer mellan experiment och matematiska teorier om plasticitet , Journal of Applied Mechanics, vol. 16, sid. 349-357.
↑ Cazacu, O. och Barlat, F. (2001). Generalisering av Druckers avkastningskriterium till ortotropi. Mathematics and Mechanics of Solids, vol. 6, nr. 6, sid. 613-630.