Feedback linjärisering

Feedbacklinjärisering är ett sätt att föra ett system, abstrakt beskrivet i formuläret, till den form där det finns någon extern kontrollåtgärd. I detta fall blir det icke-linjära systemet linjärt, och extern styrning tillhandahålls för stabilisering och styrning av den återstående linjära delen av systemet. $\Delta x=F(x)+G(x)*u$ $\Delta x=v,$ $v$

Som kontrolllag tillämpas vanligtvis denna kontrolllag och leder ofta till kontrollmålet om funktionen är beräkningsbar. $u=G(x)^{-1}*(vF(x)),$ $G(x)^{{-1}}$

Återkopplingslinjärisering av ett skalärt system

Betrakta fallet med återkopplingslinjärisering av ett system med en ingång och en utgång. Liknande resultat kan erhållas för system med flera in- och utgångar. Låt det ursprungliga systemet representeras som:

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\ slut{aligned}}

var är systemtillståndsvektorn,

x \in \mathbb{R}^n

u\in \mathbb {R}

inmatning,

y\in {\mathbb {R}}

utgång.

Hitta en transformation som transformerar systemet till normal form: $z=T(x)$

u=a(x)+b(x)v,

nu presenteras systemet i form av input-output i förhållande till den nya input och output . För att det transformerade systemet ska vara likvärdigt med det ursprungliga måste transformationen vara en diffeomorfism , det vill säga inte bara vara enkelvärdig utan också smidig. I praktiken kan transformationen vara en lokal diffeomorfism, men då bevaras resultaten av lineariseringen endast i detta lokala område. $v\in {\mathbb {R}}$ $y$

Lögnderivata

Problemet med återkopplingslinjärisering är att konstruera ett transformerat system vars tillstånd är utsignalen och dess första derivator. För att uppnå detta mål använder vi Lie-derivatan . Betrakta tidsderivatan av (2), som kan beräknas med hjälp av den sammansatta funktionsdifferentieringsregeln : $y$ $(n-1)$

{\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatörsnamn {d} h(x)}{\operatörsnamn {d} t}}&={\frac {\operatörsnamn {d } h(x)}{\operatörsnamn {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatörsnamn {d} h(x)}{\operatörsnamn {d} x}}f (x)+{\frac {\operatörsnamn {d} h(x)}{\operatörsnamn {d} x}}g(x)u\end{aligned}}.

Nu kan vi definiera Lie-derivatan av through som: $h(x)$ $f(x)$

L_{{f}}h(x)={\frac {\operatörsnamn {d}h(x)}{\operatörsnamn {d}x}}f(x),

och på liknande sätt Lie-derivatan av genom som: $h(x)$ $g(x)$

L_{{g}}h(x)={\frac {\operatörsnamn {d}h(x)}{\operatörsnamn {d}x}}g(x).

Genom att introducera dessa notationer definierar vi som: ${\dot {y}}$

{\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.

Det bör noteras att användningen av Lie-derivat är praktiskt när vi tar flera derivat antingen med avseende på samma vektordomän eller med avseende på en annan. Till exempel:

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatörsnamn {d} (L_{f}h(x))}{ \operatörsnamn {d} x}}f(x)

och

L_{{g}}L_{{f}}h(x)={\frac {\operatörsnamn {d}(L_{{f}}h(x))}{\operatörsnamn {d}x}}g( x).

Relativ examen

I ett linjäriserbart system består tillståndsvektorn av utdatavariabeln och dess förstaderivator. Det är nödvändigt att förstå hur indata matas in i systemet. För att göra detta introducerar vi begreppet relativ grad. System (1), (2) har en relativ grad vid en punkt om: $y$ $(n-1)$ $u$ $r\in {\mathbb {W}}$ $x_{0}$

L_{{g}}L_{{f}}^{{k}}h(x)=0\qquad \forall x

i grannskapet för alla :

x_{0}

k\leq r-2

L_{{g}}L_{{f}}^{{r-1}}h(x_{0})\neq 0

Således, enligt slutsatsen [1] , kan den relativa graden av systemet betraktas som antalet gånger som utgången måste differentieras i tid fram till det ögonblick då kontrollen uppträder explicit i utsignalen . $y$ $y$ $u$ $y$

Samtidigt, i teorin för linjära stationära system, är den relativa graden skillnaden mellan graderna av polynomen i täljaren och nämnaren för överföringsfunktionen.

Feedback linjärisering

Vidare kommer vi att anta att den relativa graden av systemet är lika med . I det här fallet, genom att differentiera utgångstiderna , har vi: $n$ $n$

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^ {2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&= L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}},

där betyder den :e derivatan av . $y^{{(n)}}$ $n$ $y$

Med tanke på att den relativa graden av systemet är , Lie-derivatorna av formen för är alla lika med noll. Detta innebär att indata inte direkt bidrar till någon av de första derivatorna. $n$ $L_{{g}}L_{{f}}^{{i}}h(x)$ $i=1,\prickar,n-2$ $u$ $(n-1)$

Transformationen som för systemet till normal form kan definieras med hjälp av de första derivatorna. Särskilt: $T(x)$ $(n-1)$

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{{(n-1)}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\ \L_{{f}}h(x)\\\vdots \\L_{{f}}^{{n-1}}h(x)\end{bmatrix}}

omvandlar fasbanorna från det initiala koordinatsystemet till det nya . Eftersom den givna transformationen är en diffeomorfism , kommer en jämn bana i det ursprungliga rummet att ha en unik motsvarighet i rymden , som också kommer att vara jämn. Dessa banor i rymden beskriver ett nytt system: $x$ $z$ $z$ $z$

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{{f}}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2} &=L_{{f}}^{{2}}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{{f }}^{{n}}h(x)+L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)u\end{fall}}.

Återkopplingsstyrlagen är således en linjär överföringsfunktion från till . $u={\frac {1}{L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)))(-L_{{f}}^{{n}}h (x)+v)$ $v$ $z_{1}=y$

Det resulterande linjäriserade systemet är:

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{ \dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}

är en kaskad av integratorer, och styrning kan erhållas med standardmetoder som används i styrteori för linjära system. I synnerhet kontrolllagen där tillståndsvektorn inkluderar utdata och dess första derivator, vilket resulterar i ett linjärt system $n$ $v$ $v=-Kz\qquad ,$ $z$ $y$ $(n-1)$

{\dot {z}}=Az,

var

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_ {2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.

Således, genom att välja de lämpliga , kan man godtyckligt arrangera polerna i ett slutet linjäriserat system. $k$

Litteratur

Andreev Yu. I. Kontroll av ändligt dimensionella linjära objekt. — M.: Nauka, 1976.
Voronov A. A. Stabilitet, kontrollerbarhet, observerbarhet. — M.: Nauka, 1979.
Ivanov V. A., Jusjtjenko A. S. Teori om diskreta system för automatisk kontroll. — M.: Nauka, 1983.
Leung L. Identifiering av system. Teori för användaren. Per. från engelska. / Ed. Tsypkina Ya. Z. - M .: Nauka, FIZMATLIT, 1991.
Roytenberg Ya. N. Automatisk styrning. — M.: Nauka, Fizmatlit, 1992.
Emelyanov S. V., Korovin S. K. Nya typer av feedback. Ledning under osäkerhet. — M.: Nauka, 1997.
Isidori A. Nonlinear Control Systems, 3:e upplagan, Springer Verlag, London, 1995.
HK Khalil HK Nonlinear Systems, 3:e upplagan, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
Vidyasagar M. Nonlinear Systems Analysis, 2:a upplagan, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
Friedland B. Advanced Control System Design, faksimilupplaga, Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey, 1996.

Anteckningar

↑ Arkiverad kopia . Hämtad 24 juli 2019. Arkiverad från originalet 24 juli 2019. (obestämd)

Se även

Icke-linjär kontroll