Sektionsuppsättning

Sektionsuppsättningen av en punkt i ett Riemann-grenrör är den delmängd av punkter genom vilka ingen av de kortaste vägarna för . $sid$ $M$ $\operatorname {C} _{p}\subset M$ $sid$

Partitionsuppsättningen kallas också för catlocus , från engelska. skära lokus .

Exempel

Punktsektionsuppsättningen för standardsfären består av en punkt mitt emot . $sid$ $sid$
Uppsättningen av delning av en punkt på ytan av en oändlig cirkulär cylinder är en rät linje parallell med cylinderns axel, som passerar längs cylinderns yta från sidan motsatt den valda punkten.

Egenskaper

Partitionsuppsättningen är en sluten uppsättning .
Partitionsuppsättningen har noll volym.
En delmängd är diffeomorf till en boll. $M\backslash \operatörsnamn {C} _{p}$
Om det finns två olika kortaste kurvor mellan punkterna och , då och . $sid$ $q$ ${\displaystyle p\in \operatörsnamn {C} _{q))$ $q\in \operatörsnamn {C} _{p}$
Om både den kortaste linjen mellan punkter och är unik, är de konjugerade på fortsättning . ${\displaystyle p\in \operatörsnamn {C} _{q))$ $\gamma$ $sid$ $q$ $\gamma$
Om är en analytisk Riemann-manifold, så tillåter partitionsuppsättningen en lokalt finit triangulering på öppna analytiska förenklingar. $M$ $\operatörsnamn {C} _{p}$
- Utan analyticitet kan en uppsättning till och med vara untriangulerad . $M$ $\operatörsnamn {C} _{p}$
Avståndet från en punkt till dess sektionsuppsättning är lika med injektivitetsradien för denna punkt.

Se även

Medianaxel

Litteratur

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Introduktion till Riemannsk geometri. - St Petersburg. : Nauka, 1994. - 318 sid.