Multipol

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 november 2016; kontroller kräver 24 redigeringar .

Multipoler (från latin multum - många och grekiska πόλος - pol) - vissa konfigurationer av punktkällor ( laddningar ). De enklaste exemplen på en multipol är en punktladdning, en noll-ordningens multipol; två laddningar motsatta i tecken, lika i absolut värde - dipol , eller multipol av 1: a ordningen; 4 laddningar av samma absoluta storlek placerade vid hörnen av ett parallellogram, så att varje sida av det förbinder laddningar av motsatt tecken (eller två identiska, men motsatt riktade dipoler) - en kvadrupol eller en 2:a ordningens multipol. I namnet multipol ingår beteckningen för antalet laddningar (på latin) som bildar multipolen, t.ex.oktupol (oktu - 8) betyder att multipolens sammansättning inkluderar 8 laddningar [1] .

Valet av sådana konfigurationer är förknippat med expansionen av fältet [2] från komplexa, utrymmesbegränsade system av fältkällor (inklusive fallet med en kontinuerlig fördelning av källor) till multifält - den så kallade "multipolexpansionen" [3 ] .

Fältet kan betyda ett elektrostatiskt eller magnetostatiskt fält, såväl som fält som liknar dem (till exempel det Newtonska gravitationsfältet) [4] .

En sådan sönderdelning kan ofta användas för en ungefärlig beskrivning av fältet från ett komplext system av källor på ett stort (mycket större än storleken på detta system självt) avstånd från det; i det här fallet är det viktigt att multipolfältet för varje nästa ordning minskar med avståndet mycket snabbare än de föregående, så du kan ofta begränsa dig till ett fåtal (beroende på avståndet och den nödvändiga noggrannheten) termer av (lägre ordningsföljder) ) flerpolig expansion. I ett annat fall, av olika skäl, visar sig multipolexpansionen vara bekväm även när alla order summeras (då är det en oändlig serie); i detta fall ger den ett exakt uttryck för fältet inte bara i stort, utan i princip på vilket avstånd som helst från källsystemet (med undantag för dess inre regioner).

Förutom statiska (eller ungefär statiska) fält talar man i samband med multipolmoment ofta om multipolstrålning - strålning som anses bero på tidsförändringen av emittersystemets multipolmoment. Detta fall skiljer sig genom att i det minskar fälten av olika ordningar lika snabbt med avståndet, och skiljer sig åt i beroendet av vinkeln.

Multipolexpansion av ett skalärt fält

System av punktladdningar i vila

Elektrostatisk potential för ett system av laddningar vid en punkt $\mathbf {R}$

\varphi ({\mathbf {R}})=\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i} |}},

var är avgifterna och är deras koordinater. Att utöka denna potential till en Taylor-serie får vi $q_{i}$ ${\mathbf {r}}_{i}$

\varphi ({\mathbf {R)))=\sum \limits _{{l=0}}^{{\infty }}\varphi ^{{(l)))({\mathbf {R}}) ,

kallas multipolexpansion , där notationen introduceras

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {(-1)^{l}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}\ summa \limits _{\alpha _{1}\ldots \alpha _{l}}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{l}}{\ frac {\partial ^{l)){\partial R^{\alpha _{1))\dots \partial R^{\alpha _{l))))\left({\frac {1}{R} }\höger)

-fältpotentialer kallas ordningen för termen för multipolexpansionen. Termen 0:e ordningen har formen $2^l$ $l$

\varphi ^{{(0)}}({\mathbf {R}})={\frac {\sum \limits _{i}q_{i}}{R}},

som sammanfaller med potentialen för en punktladdning (potentialen för en monopol). 1:a ordningens term är lika med $Q=\summa \limits _{i}q_{i}$

\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {\left(\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i} \right){\mathbf {n}}}{R^{2}}},

var är en enhetsvektor riktad längs . Om vi introducerar dipolmomentet för laddningssystemet som , då kommer systemet att sammanfalla med potentialen för punktdipolen . Således har potentialen i 1:a expansionsordningen i multipoler formen ${\mathbf {n}}={\mathbf {R}}/R$ $\mathbf {R}$ ${\mathbf {d}}=\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i}$ $\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +O\vänster({\frac {1}{R^{3}}}\höger).

Om , så beror dipolmomentet inte på valet av ursprung. Om , då kan du välja ett koordinatsystem centrerat vid punkten , då blir dipolmomentet lika med noll. Ett sådant system kallas ett laddcentralsystem. Nästa expansionstermin har formen $q=0$ $q\neq 0$ ${\mathbf {R}}_{0}={\mathbf {d}}/q$

\varphi ^{{(2)}}({\mathbf {R}})={\frac {D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}n_{{\alpha _{1 ))}n_{{\alpha _{2}}}}{2R^{3}}},

var är laddningssystemets fyrpoliga moment. Låt oss introducera den kvadrupoliska momentmatrisen . Då antar potentialen i 2:a expansionsordningen i multipoler formen $D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\sum \limits _{i}q_{i}(3r_{i}^{{\alpha _{1}}}r_{i }^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}_{i}^{2})$ $D$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +{\frac {{\mathbf {n}}D{\mathbf {n}}}{2R^{3}}}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\höger ).

Matrisen är spårlös , det vill säga . Dessutom är den symmetrisk , det vill säga . Därför kan den reduceras till en diagonal form genom att rotera de kartesiska koordinaternas axlar. $D$ ${\mathrm {tr}}D=0$ $D^{T}=D$

I det allmänna fallet kan ordningens bidrag till potentialen representeras som: $l$

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}n_{\alpha _{1}} \dots n_{\alpha _{l}}}{l!R^{l+1}}},

var är fältmomentet för systemet av laddningar, som är en irreducerbar tensor av ordningen. Denna tensor är symmetrisk med avseende på vilket par av index som helst och försvinner när den viks över vilket par av index som helst. $d^{{\alpha _{1}\dots \alpha _{l))}$ $2^l$ $l$

Distribuerat avgiftssystem

Om laddningen är fördelad med en viss densitet och sedan övergår till den kontinuerliga gränsen (eller direkt härledd från de ursprungliga formlerna) i formlerna för den diskreta fördelningen, kan man få en multipolexpansion också i detta fall: $\rho ({\mathbf {r}})$

\varphi ({\mathbf {R)))=\int \limits _{{(V)}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}})}{|{\mathbf {R}}- {\mathbf {r}}|}}d^{3}{\mathbf {r}},

var är volymen i vilken den distribuerade laddningen finns. Då har multipolmomenten formen: $V$

q=\int \limits _{{(V)}}\rho ({\mathbf {r}})d^{3}{\mathbf {r}},

{\mathbf {d}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r}}){\mathbf {r}}d^{3}{\mathbf {r}} ,

D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r)))(3r^{{\alpha _ {1}}}r^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}^{2})d ^{3}{\mathbf {r}}

Formlerna för multipolpotentialerna förblir oförändrade. Fallet med ett diskret system av laddningar kan erhållas genom att ersätta deras distributionstäthet, vilket kan uttryckas i termer av δ-funktioner :

\rho ({\mathbf {r}})=\sum _{i}q_{i}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{i}).

Vid beräkning av potentialen är formeln användbar , där finns Legendre-polynomen , . [5] ${\frac {1}{|Rr|}}={\frac {1}{R}}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\left({ \frac {r}{R}}\right)^{n}$ $P_{{n}}(x)$ $x=\cos \theta$

Multipolexpansion av den elektrostatiska fältstyrkan

Styrkan hos det elektrostatiska fältet i laddningssystemet är lika med gradienten för den elektrostatiska potentialen, taget med motsatt tecken

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=-\nabla \varphi ({\mathbf {R}}).

Genom att i denna formel ersätta styrkan av multipolexpansionen av potentialen erhåller vi multipolexpansionen av styrkan hos det elektrostatiska fältet

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=0}}^({\infty }}{\mathbf {E}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}),

var

(\mathbf {E} ^{(l)}(\mathbf {R} ))_{\alpha _{0}}={\frac {(-1)^{l+1}}{l !}}\summa \limits _{i}q_{i}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{n}}{\frac {\partial ^ {l+1}}{\partial R_{i}^{\alpha _{0}}\partial R_{i}^{\alpha _{1}}\dots \partial R_{i}^{\alpha _ {n}}}}\left({\frac {1}{R}}\right)

- elektriskt fält - fält. $2^l$

I synnerhet har fältet för en punktladdning (monopol) formen:

{\mathbf {E}}^{{(0)))({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}},

som motsvarar Coulombs lag .

Fält för en punktdipol:

{\mathbf {E}}^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {3({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf { n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}.

Fält för en punktkvadrupol:

{\mathbf {E}}^{{(2)))({\mathbf {R}})={\frac {5{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf { n)))-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}.

Således har det elektriska fältet för systemet av laddningar i vila i den andra ordningen av multipolexpansionen formen:

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}}+{\frac {3({\mathbf {n }}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {5{\mathbf {n}}({\ mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}} }\höger).

Från denna formel är det lätt att få den normala (radiala) komponenten av det elektriska fältet

E_{n}({\mathbf {R}})={\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2} ))+{\frac {2{\mathbf {n}}{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {3{\mathbf {n}}D{\mathbf {n }}}{2R^{4}}}+O\vänster({\frac {1}{R^{5}}}\höger).

Den tangentiella komponenten kan hittas genom att subtrahera normalen

E_{{\tau }}({\mathbf {R}})=E({\mathbf {R}})-{\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}} )={\frac {({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-D{\mathbf {n}}}{R^{4}}}+O\vänster({\ frac {1}{R^{5}}}\höger).

Om den normala (radial) komponenten reflekterar en sfäriskt symmetrisk laddningsfördelning, så reflekterar den tangentiella komponenten ett icke-sfäriskt bidrag till det elektrostatiska fältet . Sålunda är kvadrupolmomentet intressant för undersökning inte bara när systemets totala laddning och dipolmoment är lika med noll, utan också när Coulomb-bidraget inte är noll. Sedan, i enlighet med formeln för den tangentiella komponenten, karakteriserar kvadrupolmomentet graden av ickesfäricitet hos det elektriska fältet i laddningscentrumsystemet. Så här mättes atomkärnornas elektriska fyrpolmoment och slutsatsen drogs att de inte har någon sfärisk symmetri.

Multipolexpansion av ett statiskt magnetfält

Vektorpotentialen för laddningar som rör sig med konstant hastighet har formen:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})={\frac {1}{c}}\summa \limits _{i}{\frac {q_{i}{\mathbf {v}} _{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i}}|}}

Det sönderfaller på liknande sätt till en multipolexpansion:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=1}}^({\infty }}{\mathbf {A}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}).

Serien börjar med , eftersom det inte finns några magnetiska laddningar (magnetiska laddningar har inte hittats i fysiken för fundamentala interaktioner, även om de kan användas som en modell för att beskriva fenomen i fasta tillståndets fysik). Denna term motsvarar en magnetisk dipol (en punktcirkulär strömförande kontur): $l=1$

{\mathbf {A}}^{{(1)))({\mathbf {R}})={\frac {[{\mathbf {m}},{\mathbf {R}}]}{R^ {3}}},

var är det magnetiska momentet för strömsystemet (rörliga laddningar): ${\mathbf {m}}$

{\mathbf {m}}={\frac {1}{2c}}\sum \limits _{i}q_{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {v}} _{i}]

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Prokhorov A. M. (red.). Fysisk uppslagsverk . - M .: Soviet Encyclopedia , 1992. - T. 3. - 672 sid. — ISBN 5-85270-034-7 .
Denisov V. I. Kapitel II. Stationära elektromagnetiska fält // Föreläsningar om elektrodynamik. Handledning. - 2:a upplagan - M . : UNC DO:s förlag, 2007. - 272 sid. - ISBN 978-5-88800-330-5 .

Anteckningar

↑ Prokhorov A. M. (red.). Fysisk uppslagsverk . - M .: Soviet Encyclopedia , 1992. - T. 3. - 672 sid. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Naturligtvis kan det presenterade fältet vara både potential och spänning.
↑ Denisov V.I. Kapitel II. Stationära elektromagnetiska fält // Föreläsningar om elektrodynamik. Handledning. - 2:a upplagan - M . : UNC DO:s förlag, 2007. - 272 sid. - ISBN 978-5-88800-330-5 .
↑ För fält, som gravitationella, som inte har negativa laddningar, innehåller multipolexpansionen endast jämna order. I det här fallet betraktas negativa laddningar i multipoler av jämna ordningsföljder (till exempel i en kvadrupol) i detta fall rent formellt.
↑ Li Tsung-dao Matematiska metoder i fysik. - M.: Mir, 1965. - s.146

Se även

Dipol
fyrpol