Flerpolig strålning

Multipolstrålning är strålning som beror på förändringen i tiden av systemets multipolmoment. Används för att beskriva elektromagnetisk eller gravitationsstrålning från en tidsvarierande (icke-stationär) fördelning av avlägsna källor. Multipolsönderdelningen tillämpas på fysikaliska fenomen som inträffar i olika skalor, från gravitationsvågor på grund av kollision av galaxer till gammastrålning på grund av radioaktivt sönderfall [1] [2] [3] . Multipolstrålning analyseras på sätt liknande de som används för multipolexpansion av fält från stationära källor. Det finns dock viktiga skillnader, eftersom fälten för flerpolig strålning beter sig något annorlunda än fält från stationära källor. Den här artikeln handlar i första hand om elektromagnetisk multipolstrålning, även om gravitationsvågor behandlas på liknande sätt.

Egenskaper för multipolstrålning

Momentens linjäritet

Eftersom Maxwells ekvationer är linjära beror det elektriska fältet och magnetfältet linjärt på källfördelningen. Linjäritet gör att man självständigt kan beräkna fälten från olika multipolmoment och lägga till dem för att få systemets totala fält. Detta är den välkända principen för superposition .

Beroende av multipolmoment på referenspunkten

Multipolmoment beräknas i förhållande till en fast referenspunkt, som tas som origo för det givna koordinatsystemet. Förskjutningen av origo ändrar systemets multipolmoment, förutom det första icke-nollmomentet. [4] [5] Till exempel är monopolmomentet för en laddning helt enkelt storleken på systemets totala laddning. Att ändra referenspunkten kommer aldrig att ändra detta ögonblick. Om monopolmomentet är lika med noll, kommer systemets dipolmoment att vara translationellt invariant. Om både monopol- och dipolmoment är lika med noll, så är kvadrupolmomentet invariant under förskjutning, etc. Eftersom moment av högre ordning beror på origopositionen kan de inte betraktas som invarianta egenskaper hos systemet.

Fältberoende på avstånd

Fältet från multipolmomentet beror både på avståndet från utgångspunkten för koordinater och på vinkelorienteringen av den betraktade punkten i förhållande till koordinatsystemet. [4] I synnerhet är det elektromagnetiska fältets radiella beroende av det stationära fältmomentet proportionellt mot [2] . Således är det elektriska fältet från en elektrisk monopol omvänt proportionellt mot kvadraten på avståndet. På samma sätt skapar ett elektriskt dipolmoment ett fält som är omvänt proportionellt mot avståndets kub, och så vidare. När avståndet ökar blir bidraget från moment av hög ordning mycket mindre än bidraget från moment av låg ordning. Därför kan moment av hög ordning utelämnas för att underlätta beräkningar. ${\displaystyle 2^{\ell ))$ $1/r^{\ell +2}$

Det radiella beroendet av de flerpoliga strålningsvågorna skiljer sig från fälten i det stationära höljet, eftersom dessa vågor bär energi bort från systemet. Eftersom energi måste bevaras visar en enkel geometrisk analys att energitätheten för en sfärisk strålning med radie måste vara proportionell mot . När den sfäriska vågen expanderar måste dess fasta energi fördelas över en sfär med ytarea . Följaktligen måste varje tidsberoende multipolmoment bidra till den utstrålade energitätheten i proportion till , oberoende av momentets ordning. Följaktligen kan ögonblick av hög ordning inte kasseras lika lätt som i det stationära fallet. Men även i detta fall minskar systemets multipolkoefficienter i allmänhet med ökande ordning, vanligtvis i proportion till , så de utstrålade fälten kan fortfarande approximeras genom att förkasta moment av hög ordning [5] . $r$ $1/r^{2}$ $4\pi r^{2}$ $1/r^{2}$ $1/(2\ell +1)!!$

Tidsberoende elektromagnetiska fält

Källor

Tidsberoende källfördelningar kan uttryckas med Fourier-analys . Detta gör att olika frekvenser kan analyseras oberoende av varandra.

Laddningsdensiteten ges av

\rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

och strömtäthet

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

[6] .

För enkelhetens skull betraktar vi från och med detta ögonblick endast en vinkelfrekvens ; Således $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Superpositionsprincipen kan tillämpas för att generalisera resultaten till flera frekvenser [5] .

Vektorkvantiteter är i fet stil. Standardkonventionen att ta den reella delen av ett komplext tal används för att uttrycka fysiska storheter.

Elementarpartiklarnas inneboende vinkelmoment (se Spin ) kan påverka den elektromagnetiska strålningen från källor. För att ta hänsyn till dessa effekter tas den interna magnetiseringen av systemet i beaktande . Emellertid kommer övervägande av dessa effekter av bekvämlighetsskäl att skjutas upp till diskussionen om generaliserad multipolstrålning. $\mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)$

Potentialer

Källfördelningarna kan integreras för att erhålla tidsberoende elektrisk potential φ och magnetisk potential A . Formlerna uttrycks med hänsyn till Lorentz-mätaren i SI-enheter [5] [6] .

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt' {\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left(t'-( t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left (t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

I dessa formler är c ljusets hastighet i vakuum, är Dirac delta-funktionen och är det euklidiska avståndet från startpunkten för källan x′ till den betraktade punkten x . $\delta$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Att integrera de tidsberoende källdistributionerna ger

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))} {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))))

där k =ω/ c . Dessa formler tjänar som grund för analys av multipolstrålning.

Multipolexpansion på små avstånd från källan

Små avstånd är ett område i rymden nära källan där det elektromagnetiska fältet kan anses vara kvasistationärt. Om avståndet till den betraktade punkten från källan är mycket mindre än strålningsvåglängden , då . Som ett resultat kan exponenten approximeras i denna region enligt följande (se Taylor-serien ): ${\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2))$ $\lambda =2\pi /k$ $kr\ll 1$

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))=1+O(kr)

I denna approximation är det återstående x ′-beroendet detsamma som för det stationära systemet, och samma analys tillämpas [4] [5] . Faktum är att potentialerna vid ett givet ögonblick på små avstånd från källan kan beräknas genom att helt enkelt ta en ögonblicksbild av systemet och behandla det som om det vore stationärt. Därför kallas detta fall kvasistationärt [5] . I synnerhet utökas det ömsesidiga avståndet med hjälp av sfäriska funktioner , som är oberoende integrerade för att erhålla sfäriska multipolkoefficienter (se multipolexpansion ). ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Multipolexpansion på stora avstånd från källan: multipolstrålning

På stora avstånd från högfrekvenskällan, , sker följande approximationer: $\lambda \ll r$

{\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^ {2})

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))

Eftersom på stora avstånd från källan endast första ordningens termer är betydande, minskar expansionen i huvudsak till: $1/r$

{\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^ {2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})

Varje grad motsvarar ett annat multipolmoment. Nedan följer de första punkterna. $\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'}$

Strålningen från en elektrisk monopol, existensens omöjlighet

Den nollte ordningens term, , i förhållande till den skalära potentialen ger: ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\högerpil {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\phi _{\text{elektrisk monopol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr -i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}} {4\pi \epsilon _{0}r}}q

där systemets totala laddning är en elektrisk monopol som oscillerar vid frekvensen ω. Lagen om bevarande av elektrisk laddning kräver det $q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )$ $q=0$

q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho ( \mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}

Om systemet är stängt kan storleken på laddningen inte fluktuera, vilket innebär att svängningsamplituden q måste vara lika med noll. Därför, . Motsvarande fält och strålningseffekt måste också vara lika med noll [5] . $\phi _{\text{elektrisk monopol}}(\mathbf {x} ,t)=0$

Elektrisk dipolstrålning

Elektrisk dipolpotential

Strålningen från en elektrisk dipol kan erhållas genom att betrakta termen nollte ordningen, , applicerad på vektorpotentialen [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\högerpil {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\mathbf {A} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integrering av delar ger [7]

\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

Och laddningskontinuitetsekvationen visar

{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t))+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t) =\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t} =0

Därav följer det

\mathbf {A} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Liknande resultat kan erhållas genom att överväga första ordningens term, , som tillämpas på den skalära potentialen. ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\högerpil {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

Storleken på amplituden för systemets elektriska dipolmoment

\mathbf {d} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Detta tillåter oss att uttrycka potentialerna som

\phi _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {d}

\mathbf {A} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {d}

Elektriska dipolfält

När de tidsberoende potentialerna väl har hittats kan det tidsberoende elektriska fältet och magnetfältet beräknas på vanligt sätt. Nämligen,

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\ mathbf {x} ,t)}{\partial t))

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)

eller, i ett källfritt område av rymden, kan förhållandet mellan magnetfältet och det elektriska fältet användas för att erhålla

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf { x} ,t)

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)

var är vågimpedansen för vakuum . ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0))))$

Elektriska och magnetiska fält som motsvarar potentialerna ovan:

\mathbf {H} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \ gånger \mathbf {d} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {E} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{elektrisk dipol}}\times \mathbf {n} )

vilket motsvarar vågorna av sfärisk strålning [5] .

Strålningseffekt för en elektrisk dipol

Energiflödestäthet med hjälp av Poynting-vektorn . Det följer att den tidsgenomsnittliga energiflödestätheten per enhet rymdvinkel bestäms av $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

{\frac {dI(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf { E} \times \mathbf {H} )

Skalärprodukten med ger strålningens storlek, och faktorn 1/2 erhålls från tidsgenomsnittet. Såsom förklarats ovan, eliminerar det radiella beroendet av den utstrålade energitätheten. Som applicerat på den elektriska dipolen får vi $\mathbf {n}$ $r^{2}$

{\frac {dI_{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^ {2}}}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

där θ mäts i förhållande till [5] . $\mathbf{d}$

Integration över sfären ger den totala strålningseffekten:

I_{\text{elektrisk dipol}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2 }^{2}

Magnetisk dipolstrålning

Magnetisk dipolpotential

Den första ordningens term, , i förhållande till vektorpotentialen ger strålningen från en magnetisk dipol eller strålningen från en elektrisk kvadrupol [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\högerpil {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{magnetisk dipol / elektrisk kvadrupol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integranden kan delas upp i symmetriska och antisymmetriska delar över n och x ′

(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2))\left((\mathbf {n) } \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x '} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n}

Den andra termen innehåller den effektiva magnetiseringen på grund av strömmen och integrationen ger det magnetiska dipolmomentet $\mathbf {M} _{\text{effektiv}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ) )$ $\mathbf {m} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{effektiv))(\mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{magnetisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac { e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n}

Observera att den har ett liknande utseende. Det betyder att magnetfältet som skapas av en magnetisk dipol beter sig på samma sätt som det elektriska fältet från en elektrisk dipol. På liknande sätt liknar det elektriska fältet från en magnetisk dipol det magnetiska fältet från en elektrisk dipol. $\mathbf {A} _{\text{magnetisk dipol))$ $\mathbf {H} _{\text{elektrisk dipol))$

Utföra transformationer

\mathbf {E} _{\text{elektrisk dipol}}\högerpil Z_{0}\mathbf {H} _{\text{magnetisk dipol}}

\mathbf {H} _{\text{elektrisk dipol}}\högerpil {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{magnetisk dipol}}

\mathbf {d} \rightarrow \mathbf {m} /c

i tidigare beräkningar ger resultat för en magnetisk dipol [5] .

Magnetiska dipolfält

\mathbf {E} _{\text{magnetisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\ mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {H} _{\text{magnetisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\ text{magnetisk dipol}}\ gånger \mathbf {n} )

[5]

Strålningseffekt för en magnetisk dipol

Den tidsgenomsnittliga magnetiska dipolstrålningsenergiflödestätheten per enhet rymdvinkel bestäms av

{\frac {dI_{\text{magnetisk dipol}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}} k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

där θ mäts av den relativa magnetiska dipolen . ${\mathbf {m}}$

Total strålningseffekt [5] :

I_{\text{magnetisk dipol}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}

Elektrisk fyrpolig strålning

Elektrisk fyrpolig potential

Den symmetriska delen av integranden från föregående avsnitt kan pro-integreras genom att tillämpa integration av delar och laddningskontinuitetsekvationen , som redan har gjorts för elektrisk dipolstrålning .

{\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\ mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2 }}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

\mathbf {A} _{\text{elektrisk kvadrupol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

Låt oss presentera den spårlösa elektriska fyrpoliga momenttensorn . Begränsning av det andra indexet till normalvektorn tillåter oss att uttrycka vektorpotentialen som [5] $D_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \| _{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )$ ${\displaystyle [D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\summa _{\beta }D_{\alpha \beta }n_{\beta ))$

\mathbf {A} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {D(n)}

Elektriska fyrpoliga fält

Resulterande magnetiska och elektriska fält [5] :

\mathbf {H} _{\text{elektrisk kvadrupol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)}

\mathbf {E} _{\text{elektrisk kvadrupol}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{elektrisk kvadrupol}}\times \mathbf {n} )

Strålningseffekt för en elektrisk fyrpol

Den tidsgenomsnittliga energiflödestätheten för strålningen från en elektrisk fyrpol per enhet rymdvinkel bestäms av

{\frac {dI_{\text{electric quadrupole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^ {2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}

Total strålningseffekt [5] :

I_{\text{electric quadrupole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }D_{ \alpha \beta }^{2}

Generaliserad multipolstrålning

När multipolmomentet för systemet med fördelade laddningar ökar blir de direkta beräkningarna som hittills använts alltför besvärliga. Analysen av högre moment kräver ett mer generellt teoretiskt förhållningssätt. Som tidigare tar vi bara hänsyn till en frekvens . Därför bestäms laddningen, strömmen och den interna magnetiseringstätheten av $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

respektive.

De resulterande elektriska och magnetiska fälten delar samma tidsberoende som källorna

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Genom att använda dessa definitioner och kontinuitetsekvationer kan vi skriva Maxwells ekvationer i formen:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J } (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} ( \mathbf {x} )\right)

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0))}\mathbf {E} (\mathbf {x} ) +\mathbf {J} (\mathbf {x} )

Dessa ekvationer kan kombineras genom att applicera en curl på de sista ekvationerna och tillämpa identiteten . Detta ger vektorformerna för den inhomogena Helmholtz-ekvationen : $\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\ mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V}$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\ nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\höger]

Lösningar för vågekvationer

Homogena vågekvationer som beskriver elektromagnetisk strålning med en frekvens i ett område utan källor har formen: $\omega$

(\mathbf {\nabla} ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0

Vågfunktionen kan representeras som summan av vektorns sfäriska övertoner $\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )$

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2 )}h_{\ell }^{(2)}(kr)

där är normaliserade vektorsfäriska övertoner och och är sfäriska Hankel-funktioner (se Bessel-funktioner ). En differentialoperator är en vinkelmomentoperator med egenskapen . Koefficienterna och motsvarar expanderande respektive sammandragande vågor. Alltså när det gäller strålning . För att bestämma de återstående koefficienterna används den gröna funktionen . Om källekvationen $\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)))$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(2)))$ $\mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla }$ ${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)))$ $A_{\ell m}^{(2)}=0$

(\mathbf {\nabla} ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )

sedan lösning:

\Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\summa _{\beta}\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x } ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )

Greenens funktion kan uttryckas i termer av vektorsfäriska övertoner:

G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta } ^{*}(\theta ',\phi ')

Observera att det är en differentialoperator som verkar på källfunktionen . $\mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)))$ ${\mathbf {V}}$

Så lösningen på vågekvationen är:

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac { ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\ int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )

Elektriska flerpoliga fält

Tillämpa lösningen som erhållits ovan på den elektriska flerpoliga vågekvationen

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\höger]

vi får lösningen för magnetfältet [5] :

\mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} ( \mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]

Elektriskt fält:

\mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla} \times \mathbf {H} ^{ (E)}(\mathbf {x} )

Formeln kan förenklas genom att tillämpa identiteterna

\mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x } } ))

\mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {V} (\mathbf { x))

\mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0

till integranden, som ger [5]

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla} \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]

Greens teorem och integration av delar leder formeln till

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla} \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr' ))

den sfäriska Bessel-funktionen kan också förenklas om vi antar att strålningsvåglängden är mycket större än källdimensionerna, vilket är fallet för de flesta antenner $j_{\ell }(kr')$

j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})

Om vi ignorerar alla termer, förutom termerna för de minsta beställningarna, får vi en förenklad form av elektriska multipolkoefficienter [5] :

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']

Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\ rho (\mathbf {x'} )

Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)))\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))

${\displaystyle Q_{\ell m))$ är samma multipolmoment som i det stationära fallet om det applicerades på en stationär laddningsfördelning , medan det motsvarar det inducerade elektriska multipolmomentet från den inre magnetiseringen av de ursprungliga källorna. $\rho(\mathbf{x})$ $Q_{\ell m}'$

Magnetiska multipolfält

Applicera lösningen som erhållits ovan på den magnetiska flerpoliga vågekvationen

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf { \nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

vi får lösningen för det elektriska fältet [5] :

\mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\ mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

Ett magnetfält:

\mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^ {(M)}(\mathbf {x} )

Som tidigare är formeln förenklad:

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla} \cdot (\mathbf {x' } \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r' ))(r'j_{\ell }(kr'))

Om vi kasserar alla termer, förutom termerna för de minsta beställningarna, får vi en förenklad form av de magnetiska multipolkoefficienterna [5] :

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']

M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^ {*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ') \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )

${\displaystyle M_{\ell m))$ är det magnetiska multipolmomentet för den effektiva magnetiseringen och motsvarar den inneboende magnetiseringen . $\mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2$ $M_{\ell m}'$ $\mathbf {M} (\mathbf {x} )$

Allmän lösning

De elektriska och magnetiska fälten kombineras för att ge de slutliga fälten [5] :

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+ {\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty}\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )- {\frac {i}{kZ_{0))}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

Observera att den radiella funktionen kan förenklas för stora avstånd . $h_{\ell }^{(1)}(kr)$ $1/r\ll 1$

h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^ {2})

Således återställs strålningens radiella beroende.

Se även

Anteckningar

↑ Hartle, James B. Gravity: En introduktion till Einsteins allmänna relativitetsteori . — Addison-Wesley , 2003. — ISBN 0-8053-8662-9 .
↑ 12 Rose, M.E. Multipole Fields . — John Wiley & Sons , 1955. Arkiverad 24 juni 2021 på Wayback Machine
↑ Blatt, John M. Teoretisk kärnfysik - sjunde tryckning / John M. Blatt, Victor F. Weisskopf. - John Wiley & Sons , 1963. - ISBN 0-471-30932-X . Arkiverad 24 juni 2021 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Raab, Roger E. Multipole Theory in Electromagnetism / Roger E. Raab, Owen L. de Lange. - Oxford University Press , 2004. - ISBN 978-0-19-856727-1 . Arkiverad 24 juni 2021 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Jackson, John David. Klassisk elektrodynamik - tredje upplagan . — John Wiley & Sons , 1999. — ISBN 0-471-30932-X .
↑ 1 2 Hafner, Christian. Den generaliserade flerpoliga tekniken för beräkningselektromagnetik . - Artech House , 1990. - ISBN 0-89006-429-6 . Arkiverad 24 juni 2021 på Wayback Machine
↑ Robert G. Brown. Vector Calculus: Integration by Parts . Klassisk elektrodynamik: Del II (28 december 2007). Hämtad 19 juni 2021. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (неопр.)