Poincaré-Dulac normal form

I teorin om dynamiska system är normalformen Poincare – Dulac normalformen av ett vektorfält eller en vanlig differentialekvation i närheten av dess singulära punkt .

Formulering

Resonanser

Per definition är resonansen för en uppsättning jämlikheten ${\displaystyle (\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n})\in \mathbb {C} ^{n))$

\lambda _{j}=\langle \lambda ,\;k\rangle ,

((*))

var . $k\in \mathbb {Z} ^{n},\;k_{1},\;\ldots ,\;k_{n}\geqslant 0,\;k_{1}+\ldots +k_{ n}\geqslant 2$

Resonansmonomialet för ett vektorfält vars linjära del reduceras till Jordans normalform med egenvärden kallas monomialen ${\displaystyle \lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n))$

z^{k}\partial /\partial z_{j},

var och för och är uppfylld (*). $z^{k}=z_{1}^{k_{1}}\ldots z_{n}^{k_{n}}$ $\lambda$ $k$

Poincaré-Dulac-satsen

Sats. Ett formellt vektorfält med en singulär punkt vid origo är formellt ekvivalent med ett formellt vektorfält vars linjära del är reducerad till Jordaniens normala form, och alla monomer som inte är noll är resonans.

Formen som anges i satsen kallas Poincaré-Dulac resonant formell normalform .

Relaterade begrepp

Regionerna Poincaré och Siegel

En vektor sägs vara i Poincaré-domänen om noll inte ligger i det konvexa punktskalet . Annars sägs det tillhöra området Siegel . Slutligen, om noll tillhör det konvexa skrovet tillsammans med en del av dess grannskap , sägs vektorn tillhöra den strikta Siegel-domänen . $\lambda \in \mathbb {C} ^{n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n}\in \mathbb {C} \sim \mathbb {R} ^{2))$ $\lambda$

I fallet med en egenvärdesvektor som tillhör Poincaré-domänen är Poincaré-Dulacs resonansnormalform i själva verket polynom. När det gäller sådana egenvärden kan man hävda att vektorfältet är analytiskt ekvivalent med dess resonansformella normalform.

Levells sats

Levells sats , som beskriver den resonansnormala formen av en fuchsisk singularpunkt

{\dot {z}}={\frac {A(t)}{t}}z

kan betraktas som linjär i varianten av Poincaré-Dulac normalform för det utökade systemet $z$

\left\{{\begin{array}{l}{\dot {z}}=A(t)z,\\{\dot {t}}=t.\end{array}}\right .

Litteratur

Arnold VI, Ilyashenko Yu. S. Vanliga differentialekvationer. Dynamiska system - 1 // Itogi nauki i tekhniki. — Ser. "Modern. prob. matta. Fundam. vägbeskrivning". - Nr 1. — M.: VINITI, 1985. — sid. 7-140.
Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Föreläsningar om analytiska differentialekvationer.