Omvänt problem

Ett omvänt problem är en typ av problem som ofta uppstår inom många vetenskapsgrenar , när värdena på modellparametrar måste erhållas från observerade data.

Exempel på omvända problem kan hittas inom följande områden: geofysik , astronomi , medicinsk bildbehandling , datortomografi , jordfjärranalys , spektralanalys , spridningsteori och NDT- problem .

Omvända problem är illa ställda problem. Av de tre villkoren för ett välponerat problem (förekomsten av en lösning, lösningens unika och dess stabilitet ) kränks det sista oftast i omvända problem. I funktionsanalys representeras det omvända problemet som en kartläggning mellan metriska utrymmen . Omvända problem formuleras vanligtvis i oändliga dimensionella rum, men begränsningen av ändligheten av mätningar och lämpligheten att beräkna ett ändligt antal okända parametrar leder till en förändring av problemet i en diskret form. I detta fall används en regleringsmetod för att undvikaomskolning .

Linjärt inverst problem

Det linjära inversa problemet kan beskrivas på följande sätt:

\ d=G(m)

där är en linjär operator som beskriver explicita samband mellan data och modellparametrar och representerar ett fysiskt system. I fallet med ett diskret linjärt inverst problem som beskriver ett linjärt system , och är vektorer , vilket gör det möjligt att använda följande representation av problemet: $G$ $d$ $m$

\d=Gm

var finns en matris . $G$

Exempel

Ett exempel på ett linjärt inverst problem är Fredholms integralekvation av första ordningen.

d(x)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)\,m(y)\,dy

För en i huvudsak smidig operatör är operatören som definieras ovan kompakt på sådana Banach-utrymmen som Spaces . Även om mappningen är en-till-en , kommer den omvända funktionen inte att vara kontinuerlig . Således kommer även små fel i data att förstoras kraftigt i lösningen . I detta avseende kommer det omvända problemet att bestämma från de uppmätta data att vara felaktigt. $g$ $L^{p}$ $d$ $m$ $m$ $d$

För att få en numerisk lösning är det nödvändigt att approximera integralen med hjälp av numerisk integration och diskreta data. Det resulterande systemet med linjära ekvationer kommer att vara ett illa ställt problem.

Radontransformen är också ett exempel på ett linjärt inverst problem.

Icke-linjärt inverst problem

I icke-linjära inversa problem uppstår mer komplexa samband mellan data och modell, vilka beskrivs av ekvationen:

\d=G(m).

Här är en icke-linjär operator som inte kan reduceras till en linjär mappning som översätts till data. Linjära inversa problem löstes helt ur en teoretisk synvinkel i slutet av 1800-talet , av de icke-linjära, fram till 1970 löstes endast en klass av problem - problemet med backscattering. Ett betydande bidrag gjordes av den ryska matematiska skolan ( Kerin , Gelfand , Levitan ). $G$ $m$

Länkar

Internationella vetenskapliga tidskrifter

Litteratur

Goltsman F. M. Statistiska tolkningsmodeller. - M., Nauka, 1971. - 323 sid.