Antoines halsband

Antoine-halsbandet ( Antoine set [1] ) är ett exempel på en delmängd av ett euklidiskt utrymme som är homeomorft till en Cantor-uppsättning men har ett icke- enkelt sammankopplat komplement.

Byggd av Louis Antoine 1921 [ 2] .

Byggnad

Halsbandet erhålls som skärningspunkten mellan en minskande sekvens av kompakta set:

K_1\uppsättning K_2\uppsättning\prickar

så att var och en är föreningen av ett ändligt antal disjunkta solida tori . $K_n$

Om den maximala solida torusdiametern i tenderar till noll vid , då skärningspunkten: $K_n$ $n\till\infty$

K=\bigcap_n K_n

är en kompakt , helt frånkopplad uppsättning utan isolerade punkter, och är därför homeomorf till en Cantor-uppsättning .

Å andra sidan kan du välja en sekvens så att komplementet till den erhållna inte bara är ansluten; för detta måste skärningen med varje solid torus i bilda en sluten kedja, som på bilden. $K_n$ $K$ $K_{n+1}$ $K_n$

Se även

Anteckningar

↑ Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuell topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 sid. - ( Bibliotek "Quantum" ).
↑ Antoine, Louis (1921), "Sur l'homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages", Journal Math Pures et appl. 4:221-325