Om den kvantteoretiska tolkningen av kinematiska och mekaniska relationer

"On the Quantum Theoretical Interpretation of Kinematic and Mechanical Relations" ( tyska: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ) är en artikel skriven av Werner Heisenberg som publicerades i Zeitschrift für Physik i september 1925 och lade grunden för kvantmekaniken . Artikeln skickades till redaktionen den 25 juli 1925 - denna dag kan betraktas som födelsedagen för den moderna kvantteorin [1] .

Medan han återhämtade sig från hösnuva på ön Helgoland , arbetade Heisenberg på tidningen medan han korresponderade med Wolfgang Pauli [2] om ämnet . På frågan om vad han tyckte om manuskriptet svarade Pauli positivt [3] , men Heisenberg sa att han fortfarande var "mycket osäker på det" [4] . I juli 1925 skickade han manuskriptet till Max Born för granskning och beslut om dess publicering [5] .

I artikeln försökte Heisenberg förklara energinivåerna för den endimensionella anharmoniska oscillatorn , undvika föreställningar om icke observerbara elektronbanor , med hjälp av observerbara storheter som övergångssannolikheter för " kvanthopp ", vilket krävde användning av två index som motsvarar initialt och slutligt tillstånd [6] .

Också i arbetet dök upp Heisenberg-kommutatorn , hans multiplikationslag, nödvändig för att beskriva vissa egenskaper hos atomer, varvid produkten av två fysiska kvantiteter inte pendlar . Därför kommer PQ att skilja sig från QP , där till exempel P är elektronens rörelsemängd och Q är dess koordinat. Paul Dirac , som fick en korrekturkopia av artikeln i augusti 1925, insåg att kommutativitetens lag inte var färdig och skapade ett algebraiskt uttryck av samma resultat i en mer logisk form [7] .

Innehåll

Kvantkinematik

Sammanfattning av artikeln formulerar artikelns huvudmål [8] [9]

I detta arbete görs ett försök att få fram grunderna för den kvantteoretiska mekaniken, som enbart bygger på sambanden mellan fundamentalt observerbara storheter.

Som "oobserverbara" storheter som användes i den gamla kvantteorin: koordinaterna och perioden för elektronens revolution. Följaktligen var de värden som var tillgängliga i experimentet observerbara: energierna i Bohr-banorna och övergångsfrekvenserna [8] : $W(n)$

\omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}\left[W(n)-W(n-\alpha )\right]\,,

( Lv. 1.1 )

där n är ett naturligt tal som anger den initiala energinivån, och den nya nivån betecknas med indexet n - α . Istället för den vanliga kinematiken, det vill säga sökandet efter elektronbanan x ( t ) , föreslog Heisenberg att man skulle överväga övergångssannolikheterna mellan stationära Bohr-banor. Banan för en elektron (ett endimensionellt problem betraktas) som ligger på nivå n med en grundfrekvens ω ( n ) kan representeras som en Fourier-serie [8] :

x(n,t)=\summa _{-\infty }^{\infty }X_{\alpha }(n)\exp ^{i\omega (n)\alpha t}\,.

( Lv. 1.2 )

Strålningsstyrkan för α - övertonen kan hämtas från Larmors formel för en klassisk accelererad elektron som rör sig i en parabolisk potential

-\left({\frac {dE}{dt}}\right)_{\alpha }={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}c^{3 ))}[\omega (n)\alpha ]^{4}|X_{\alpha}(n)|^{2}\,,

( Lv. 1.3 )

där e är elektronladdningen, c är ljusets hastighet [10] . Den klassiska formeln Heisenberg skriver om för att passa kvantmängderna ω ( n ) α ersätts med uttrycket ekv. 1.1 , för Fourierkomponenten X α ( n ) — X ( n , n - α ) [8] . Höger sida av ur. 1.3 ersätts med produkten av energi och övergångssannolikhet

P(n,n-\alpha )={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}[\omega (n,n- \alpha )]^{4}|X(n,n-\alpha )|^{2}\,,

( Lv. 1.4 )

Övergångsamplituden X ( n , n - α ) Heisenberg hänvisar också till det observerade värdet [8] [11] . Denna kvantitet beskriver endast en övergång, och för den totala övergångssannolikheten måste alla kvantiteter beaktas.Vidare ställer författaren frågan om representationen av kvadraten av partikelbanan x ( t ) 2 , som visar sig vara produkten av två Fourier-serier ekv. 1.2 för en klassisk partikel [8] : $X(nn-\alpha )\exp[i\omega (n,n-\alpha )t]\,.$

[x(t)]^{2}=\summa _{\alpha }\summa _{\gamma }X_{\alpha }(n)X_{\gamma }(n)\mathrm {e} ^ {i\omega (n)(\alpha +\gamma )t}\,

( Lv. 1.5 )

och efter förändring av variabler $\beta =\alpha -\gamma$

[x(t)]^{2}=\summa _{\beta }Y_{\beta }(n)\mathrm {e} ^{i\omega (n)\beta t}\,,

( Lv. 1.6 )

var

Y_{\beta }(n)=\summa _{\alpha }X_{\alpha }(n)X_{\beta -\alpha }(n)\,.

( Lv. 1.7 )

Kvantanalog av ekv. 1.6 kommer det att finnas ett uttryck av formen Ritz-kombinationsprincipen [11] används för att konstruera en analog till ekv. 1,7 [8] : $Y(n,n-\beta )\exp[i\omega (n,n-\beta )t]\,.$

\omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta )\,.

( Lv. 1.8 )

från vilken följer regeln för att multiplicera övergångsamplituderna [12]

Y(n,n-\beta )=\summa _{\alpha }X(n,n-\alpha )X(n-\alpha ,n-\beta )\,.

( Lv. 1.9 )

Heisenberg noterar att produkten [ x ( t )] n erhålls på liknande sätt, men att betrakta produkterna av två kvantiteter x ( t ) y ( t ) är svårt, eftersom i kvantteorin, till skillnad från klassisk, kan uttrycket skilja sig från y ( t ) ) x ( t ) , som han tolkade som ett viktigt inslag i kvantkinematik [8] .

Kvantdynamik

Heisenberg etablerade observerbara storheter för den nya kvantteorin: övergångsamplituder och frekvenser. Övervägande till övervägandet av dynamik med hjälp av exemplet med en endimensionell harmonisk oscillator, vars lösning i den gamla kvantteorin bestod i att integrera rörelseekvationerna [8]

{\ddot {x}}+f(x)=0\,

( Lv. 2.1 )

och erhållande av kvantförhållanden för periodiska rörelser

\oint pdq=\oint m{\dot {x}}^{2}dt\equiv J\,(=nh)\,,

( Lv. 2.2 )

där h är Plancks konstant. För en klassisk oscillator, ersätter expansionen av koordinaten i form av en Fourierserie ekv. 1,2 i ur. 2.1 är det möjligt att erhålla återfallsrelationer för expansionskoefficienterna. Med hjälp av tidigare härledda nya kinematiska observerbara värden är det möjligt att få liknande återfallsrelationer för ett visst uttryck f ( x ) , vilket diskuteras nedan . För kvantförhållanden använde han samma klassiska serie av ekv. 1.2 , vilket leder till uttrycket [8]

\oint m{\dot {x}}^{2}dt=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }|X_{\alpha }(n)|^ {2}\alpha ^{2}\omega (n)\,.

( Lv. 2.3 )

Genom att likställa detta uttryck med nh och differentiera med avseende på h , erhåller Heisenberg uttrycket [8]

h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\alpha {\frac {d}{dn))(\alpha |X_{\alpha }(n)| ^{2}\omega (n))\,,

( Lv. 2.4 )

där storheterna X α ( n ) definieras upp till en konstant. Detta uttryck kan skrivas i nya observerbara kvantiteter efter användning av Bohr-korrespondensregeln

h=4\pi m\sum _{\alpha =0}^{\infty }{|X(n+\alpha ,n)|^{2}\omega (n+\alpha ,n)-|X (n,n-\alpha )|^{2}\omega (n,n-\alpha )}\,,

( Lv. 2.5 )

som är Thomas-Kuhns summaregel . Nu löser Heisenberg systemets ekv. 2.1 och ur. 2,5 för en specifik typ av kraft som är en endimensionell anharmonisk oscillator [8] . $f(x)=\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}\,,$

Lösning för den anharmoniska oscillatorn

Enligt Heisenbergs antagande beskriver den klassiska rörelseekvationen för en anharmonisk oscillator också kvantdynamik [12]

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0\,.

( Lv. 3.1 )

Denna ekvation uttrycks i observerbara storheter med användning av ekv. 1.7 blir [8]

[\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}(n,n-\alpha )]X(n,n-\alpha )+\lambda \sum _{\beta }X (n,n-\beta )X(n-\beta ,n-\alpha )=0\,.

( Lv. 3.2 )

Detta uttryck tar en återkommande form för varje värde på α . Sedan konstruerar han en störningsteori i form av en liten parameter för en anharmonisk oscillator, vilket utökar den klassiska lösningen av ekv. 3.1 i rad [8] :

x(t)=\lambda a_{0}+a_{1}\cos \omega t+\lambda a_{2}\cos 2\omega t+\lambda ^{2}a_{3}\cos 3\ omega t+\dots +\lambda ^{\alpha -1}a_{\alpha }\cos \alpha \omega t+\dots \,.

( Lv. 3.3 )

vars koefficienter också utökas till serier i den lilla parametern

a_{0}=a_{0}^{(0)}+\lambda a_{0}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{0}^{(2)}+\ prickar\,,

( Lv. 3.4 )

a_{1}=a_{1}^{(0)}+\lambda a_{1}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{1}^{(2)}+\ prickar\,,

( Lv. 3.5 )

samt frekvensen

\omega =\omega _{0}+\lambda \omega ^{(1)}+\lambda ^{2}\omega ^{(2)}+\dots \,.

( Lv. 3.6 )

Levererar ur. 3,3 i ur. 3.1 erhålls ett ekvationssystem för expansionskoefficienterna. För att hitta dessa koefficienter i den första ordningen av störningsteorin är det nödvändigt att begränsa oss till termer i första potensen av λ . Med en liknande metod för observerbara kvantvärden kommer Heisenberg fram till kvantekvationer för expansionskoefficienter och konstruerar lösningar för dem. I första ordningen [8]

\omega ^{(0)}(n,n-\alpha )=\omega _{0}\,.

( Lv. 3.8 )

a^{(0)}(n,n-\alpha )=A_{\alpha }{\frac {\beta ^{\alpha }}{\omega _{0}^{2(\alpha - 1)))}{\sqrt {\frac {n!}{(n-\alpha )!}}}\,.

( Lv. 3.8 )

där och är en numerisk koefficient beroende på α . För oscillatorenergin finner han ett uttryck i det klassiska fallet $\beta ={\sqrt {h/\pi m\omega _{0))}\,$ ${\displaystyle A_{\alpha ))$

W=nh\omega _{0}/2\pi \,

( Lv. 3.9 )

och i kvantfallet

W=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)h\omega _{0}/2\pi \,,

( Lv. 3.10 )

jämför resultatet av beräkningar i andra ordningen av störningsteorin i λ 2 , vilket överensstämmer med tidigare beräkningar i den gamla teorin [8] .

Historik

I sitt första brev till Pauli den 29 september 1922 överväger han samverkan mellan en anharmonisk klassisk oscillator med strålning, men introducerar dämpning utan att förklara dess mekanism [13] . I ett brev till R. Kronig daterat den 5 juni 1925 använder Heisenberg redan den nya kvantteorin för att lösa den anharmoniska oscillatorn. Redan i detta brev ger han motsvarigheten till produkten av klassiska övertoner

b_{2}{\textrm {e}}^{2i\omega t}=(a_{1}{\textrm {e}}^{i\omega t})^{2}\,,

i kvantobserverbara [14]

b(n,n-2)=a_{1}(n,n-1)a_{1}(n-1,n-2)\,.

Detta uttryck är ekvivalent med produkten av matriselement. Tydligen upptäckte Heisenberg det i juni [14] .

I juni 1925 drabbades Heisenberg av en svår hösnuva, så på inrådan av en läkare flyttade han från Göttingen till ön Helgoland , som saknade blommande vegetation. Där tog hans idéer om en ny kvantteori sin slutgiltiga form [2] . I ett brev till Pauli den 21 juni skriver han ner energin hos den kvantharmoniska oscillatorn, och i ett brev från den 24 juni diskuterar han den anharmoniska oscillatorn mer i detalj, vilket senare visas i hans artikel [15] . Den 29 juni var han övertygad om riktigheten av sitt resultat, och tio dagar senare skrev han färdigt manuskriptet och skickade artikeln till Pauli och bad om hans åsikt [16] .

Betyg

Van der Waerden lyfter fram följande huvudresultat av Heisenbergs papper:

klassisk mekanik förlorar sin tillämpbarhet för atomskala;
klassisk mekanik måste vara begränsningsfallet för kvantteorin för stora kvanttal, i enlighet med korrespondensprincipen;
en framgångsrik metod för att koppla samman kvant- och klassisk teori bör betraktas som att ersätta differentialer i klassiska uttryck med ändliga skillnader i kvantfallet;
Heisenberg såg huvudproblemet med att förstå mekanik vid atomära dimensioner, inte i avvikelse från klassiska lagar, utan i det oacceptabla i den kinematiska beskrivningen av rörelse som sådan [17] ;
förkastande av den klassiska tolkningen av x -koordinaten i rörelseekvationen [18] ;
användning av övergångskvantiteter istället för förlorade koordinater [19 ]
hitta sambandet mellan övergångsstorheter och de observerade intensiteterna för spektrallinjer [20] ;
formuleringen av kvantmekaniken uteslutande i termer av observerbara storheter [21] ;
formulering av reglerna för multiplikation av observerbara kvantvärden, som senare tolkades i form av regler för produkten av matriser [22] ;
utformning av kvantiseringsregler;
existensen av grundtillståndet för ett kvantsystem [23] .

Resultatet som erhölls av Heisenberg för energin hos en harmonisk oscillator innehöll energin från nollpunktssvängningar, som upptäcktes av R. Milliken sex månader före publiceringen av hans artikel [24] . Inkonsekvensen av Bohrs teori med imaginära klassiska banor [24] visade sig vara oförenlig med Ritz-kombinationsprincipen, vilket framgår av Heisenberg [25] . Artikeln lade grunden för matrismekanik , senare utvecklad av M. Born och Pascual Jordan . När M. Born läste artikeln insåg han att Heisenbergs formulering kunde skrivas om på matrisernas matematiskt rigorösa språk. M. Born, med hjälp av sin assistent och tidigare elev P. Jordan , skrev om det omedelbart i en ny form, och de lämnade in sina resultat för publicering. M. Born formulerade Heisenbergs kvantvillkor i den moderna formen av osäkerhetsrelationen där 1 är identitetsmatrisen [26] . M. Born kallade Heisenberg "en begåvad okunnig" på grund av sin okunnighet om matrisernas matematiska apparat, men förmågan att återupptäcka den [25] . Deras manuskript mottogs för publicering endast 60 dagar efter Heisenbergs papper [27] . En uppföljning av alla tre författarna, som utökar matrismekaniken till flera dimensioner, lämnades in för publicering före årets slut [28] . ${\textbf {pq}}-{\textbf {qp}}={\frac {h}{2\pi i}}{\textbf {1}}\,,$

Trots det grundläggande bidraget till skapandet av modern kvantteori är Heisenbergs artikel svår att förstå: till exempel sa S. Weinberg att han inte kunde förstå motivationen till några av författarens matematiska övergångar [8] . E. Fermi kunde inte heller ta itu med kvantmekanik baserad på Heisenbergs arbete och studerade den utifrån teorin om E. Schrödinger [29] . N. Bohr uppskattade mycket den formaliserade matematiska kopplingen mellan Heisenbergs resultat och korrespondensprincipen [30] .

Anteckningar

↑ Milantiev, 2009 , sid. 147.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , sid. 25.
↑ Mehra, Rechenberg, 1982 , sid. 363.
↑ Kuhn, Thomas S. Werner Heisenberg - Session VII . https://www.aip.org/ . American Institute of Physics (22 februari 1963). Hämtad 25 maj 2022. Arkiverad från originalet 27 juli 2021.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 36.
↑ Segre, Emilio. Från röntgenstrålar till kvarkar: Moderna fysiker och deras upptäckter. - Dover Publications, 2007. - S. 153-157. — 352 sid. — ISBN 0486457834 .
↑ Kragh, H. Dirac, Paul Adrien Maurice (1902–1984) // Oxford Dictionary of National Biography . — Oxford University Press, 2004.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. Att förstå Heisenbergs "magiska" artikel från juli 1925: En ny titt på beräkningsdetaljerna // American Journal of Physics. - 2004. - T. 72 . - S. 1370 . - doi : 10.1119/1.1775243 . — arXiv : 0404009 .
↑ Heisenberg, W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zeitschrift für Physik. - 1925. - Vol. 33, nr 1 . - s. 879-893. Rysk översättning: Heisenberg, V. On the Quantum Theoretical Interpretation of Kinematic and Mechanical Relations // Advances in Physical Sciences . - Ryska vetenskapsakademin , 1977. - T. 122 , nr. 8 . - S. 574-586 . (ryska)
↑ Razavy, 2011 , sid. 39.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , sid. 40.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , sid. 41.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 23.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , sid. 24.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 25-27.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 27.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 28.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 29.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. trettio.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 30-32.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 33-34.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 34.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 35.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , sid. 148.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , sid. 150.
↑ van der Waerden, 1968 , sid. 37.
↑ Om kvantmekanik // Quantum Mechanics källor : [ eng. ] / BL van der Waerden. - Dover Publications, 1968. - S. 277-306 . - ISBN 0-486-61881-1 .
↑ Om kvantmekanik II // Quantum Mechanics källor : [ eng. ] / BL van der Waerden. - Dover Publications, 1968. - P. 321-386 . - ISBN 0-486-61881-1 .
↑ Milantiev, 2009 , sid. 153.
↑ Milantiev, 2009 , sid. 154.

Litteratur

Razavy, Mohsen. Heisenbergs kvantmekanik. - World Scientific Publishing Company, 2011. - 680 sid. — ISBN 9814304107 .
Quantum Mechanics källor : [ eng. ] / BL van der Waerden . - Dover Publications, 1968. - S. 277-306 . - ISBN 0-486-61881-1 .
Milantiev, Vladimir P. Historien om kvantmekanikens uppkomst och utvecklingen av idéer om atomen . - M . : Bokhuset " Librokom ", 2009. - S. 188 . — 248 sid. - ISBN 978-5-397-00146-5 .
Mehra, Jagdish. Formuleringen av matrismekanik och dess modifikationer 1925–1926 / Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90675-4 .

Länkar

Ryska översättning: W. Heisenberg. Om den kvantteoretiska tolkningen av kinematiska och mekaniska relationer // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ryska vetenskapsakademin , 1977. - T. 122 , nr. 8 . - S. 574-586 . (ryska)