Perunit matris

En per-identitetsmatris ( utbytesmatris ) är en kvadratisk matris, vars alla element i den sekundära diagonalen är lika med 1, och resten är 0 (det vill säga den antidiagonala identiteten [1] ):

J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

; ; .

J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}

J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\v&1 cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}

Med hjälp av Kronecker-symbolen kan man skriva definitionen av elementen i pre-enhetsmatrisen som . ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{n+1-i,j))$

Är en permutationsmatris : den vänder alla rader i en matris om den multipliceras från vänster med den matrisen, och vänder på kolumnerna om den multipliceras från höger.

Några egenskaper:

$J^{\intercal }=J$ ;
$J^{n}=I$ för jämn och för udda , det vill säga involutiva - ; $n$ $J^{n}=J$ $n$ $J^{-1}=J$
$\mathop {\rm {tr))\;J=1$ för udda och för jämna ; $n$ $\mathop {\rm {tr))\;J=0$ $n$
${\displaystyle (JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j))$ och för en godtycklig -matris ; ${\displaystyle (AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j))$ $(n\ gånger n)$ $A$
$\det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2))$ .

Konceptet med en pre-identitetsmatris kan användas för att definiera matriser som har vissa symmetrier, till exempel är en kvadratisk matris : $A$

centrosymmetrisk om ; $AJ=JA$
persymmetrisk om ; $AJ=JA^{\intercal }$
bisymmetrisk om både och . $AJ=JA^{\intercal }$ $AJ=JA$

Anteckningar

↑ Monakov, A. V., V. A. Platonov. Optimering av metoden för att lösa linjära ekvationssystem i OpenFOAM för MPI+ CUDA-plattformen Arkiverad 13 oktober 2016 på Wayback Machine // Proceedings of the Institute for System Programming RAS 26.3 (2014).

Litteratur

Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Matrisanalys . _ — 2:a upplagan. - Cambridge University Press , 2012. - P. 33. - ISBN 9781139788885 .