Beställningsstatistik

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 mars 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ordinalstatistik i matematisk statistik är ett icke-minskande ordnat urval av jämnt fördelade oberoende slumpvariabler och dess element som upptar en strikt definierad plats i den varierade populationen.

Definition

Låta vara ett ändligt urval från fördelningen definierad på något sannolikhetsutrymme . Låt och . Vi numrerar om sekvensen i icke-minskande ordning, så att $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\omega \i \Omega$ $x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n))$

{\displaystyle x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)))

Denna sekvens kallas en variationsserie . Variationsserien och dess termer är orderstatistik. Den slumpmässiga variabeln kallas -th order-statistiken för det ursprungliga urvalet [1] . Orderstatistik är grunden för icke-parametriska metoder. ${\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)))$ $k$

Anteckningar

Uppenbarligen från definitionen:

$X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ;
$X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ .

Beställningsstatistik för en absolut kontinuerlig fördelning

Låt ett oberoende urval ges från en absolut kontinuerlig fördelning som ges av en fördelningstäthet och en fördelningsfunktion . Sedan har orderstatistiken också absolut kontinuerliga fördelningar, och deras distributionstätheter har formen [2] : $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $f_{X}$ $F_{X}$

f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1 [1-F_{X}(x)]^{nk}f_{X}(x)

Slumpmässig vektor , där har också en absolut kontinuerlig fördelning, och den gemensamma distributionstätheten har formen: $\left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }$ $1\leq j<k\leq n$

f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{( j-1)!(kj-1)!(nk)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X }(x_{j})]^{kj-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{nk}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k }),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matris}}\right.

Exempel

Låt vara ett prov från standard kontinuerlig enhetlig fördelning . Sedan $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]$

$f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{ nk},\quad u\in [0,1]$ ,

d.v.s. var är betafördelningen ; $U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)$ $\mathrm {B}$

$f_{U_{(j)},U_{(k)))(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(kj-1) !(nk)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{kj-1}[1-u_{k}]^{nk},\quad j <k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1$ ;
$f_{U_{(1)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},\ldots ,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\ leq \cdots \leq u_{n}\leq 1$ .

Se även

Anteckningar

↑ Matematisk encyklopedisk ordbok . - M . : "Ugglor. encyclopedia" , 1988. - S. 847 .
↑ Bevis arkiverat 27 februari 2012 på Wayback Machine , sid. 12, h. 1.18