Presheaf (kategoriteori)

En presheaf i kategoriteori är en konstruktion som generaliserar det topologiska konceptet för en presheaf .

Formellt är en preheaf på en kategori med värden i kategorin en functor , det vill säga en kontravariant funktor från till . Oftast anses preheaves med värden i kategorin uppsättningar . Om är en partiellt ordnad uppsättning öppna uppsättningar av ett topologiskt utrymme genom inkludering, då definierar en kategorisk presheaf en presheaf på ett topologiskt utrymme i den mening som används i teorin om skivor . $F$ $C$ $V$ $F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V}$ $C$ $V$ $C$

Morfismer mellan presheaves kan definieras som naturliga omvandlingar av funktorer. Detta gör att vi kan överväga kategorin av funktioner . En functor in kallas en profunctor . ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$ ${\widehat {C))$

En presheaf som är naturligt isomorf till funktorn Hom för något objekt i kategorin kallas en representabel presheaf . $\mathrm {Hom} (-,A)$ $A$ $C$

Ett flitigt använt exempel på en presheaf i kategoriteoretisk mening är en simplicial set som är en presheaf på en simplicial kategori med värden i kategorin set. $\Delta$

Egenskaper

Om det är en liten kategori , så är kategorin kärvar på den kartesisk stängd , och till och med en topos . Den är också komplett och komplett . $C$ ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$
En lokalt liten kategori tillåter en fullständig och univalent inbäddning i kategorin skivor på den med värden i — Yoneda-inbäddningen . ${\mathbf {Set}}$

Litteratur

McLane S. Kapitel 3. Universella konstruktioner och gränser // Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk , "Sheaves in Geometry and Logic" (1992) Springer-Verlag - ISBN 0-387-97710-4