Representerar Lax

Lax representation - används i teorin om integrerbara system , representationen av systemets ekvationer i form av Lax-ekvationen för ett par tidsberoende operatorer, kallat Lax-paret . Fördelen med en sådan representation är att om det var möjligt att skriva ekvationerna i denna form, erhålls automatiskt en uppsättning första rörelseintegraler.

Ett Lax -par är ett par tidsberoende operatorer som verkar på ett givet Hilbert-utrymme och uppfyller Lax-ekvationen : $L(t),P(t)$

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

I ett sådant fall är storheterna (kanske inte alla oberoende) första rörelseintegraler. $\operatorname {tr} L^{k}$

Framställningen föreslogs ursprungligen av Peter Laks i samband med teorin om solitoner . Till exempel Korteweg-de Vries ekvation :

{\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx))

kan representeras av ett par:

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+ 3u_{x}\end{aligned}}

Uppsättningen ger en räknebar uppsättning konserverade kvantiteter. $\operatorname {tr} L^{k}$

Många andra system kan också skrivas som en Lax-representation, såsom sinus-Gordon-ekvationen , Toda-kedjan , Kovalevskaya-toppen , Kadomtsev-Petviashvili-ekvationen , och så vidare.

Litteratur

P. Lax. Integraler av olinjära ekvationer av evolution och solitära vågor // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1968. - T. 21 , nr. 5 . — S. 467–490 . - doi : 10.1002/cpa.3160210503 .
P. Lax, RS Phillips. Spridningsteori för automorfa funktioner // Bull. Am. Matematik. soc. . - 1980. - T. 2 , nummer. 2 .