Konsumentuppgift

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 februari 2021; kontroller kräver 8 redigeringar .

Konsumentens uppgift är en formaliserad modell för konsumentens val mellan olika alternativ (uppsättningar av varor ) under givna begränsningar [1] . Konsumentens uppgift, tillsammans med företagets uppgift, är grundläggande i konstruktionen av partiella och allmänna jämviktsmodeller, såväl som för makroekonomiska modeller som är baserade på idén om allmän jämvikt. Konsumentens uppgift låter dig bygga efterfrågefunktionen , och företagets uppgift är utbudsfunktionen . Allmänna jämviktsmodeller tillåter oss att analysera effekten av olika chocker, inklusive regeringens politik.

Uppsättningen där valet görs kallas uppsättningen av giltiga alternativ . I detta fall kan konsumentens val begränsas ytterligare av det faktum att varorna är varor och har ett pris och konsumentens inkomst är fast. Sedan införs en budgetbegränsning i problemet och valet inom budgetuppsättningen övervägs . Det antas också att på uppsättningen av acceptabla alternativ sätts en preferensrelation som vägleder konsumenten när han gör ett val. I synnerhet kan preferenser representeras av en hjälpfunktion som tillåter rangordning av alternativ.

Oftast tror man att preferensrelationer är rationella, och konsumenten försöker välja det mest föredragna alternativet från uppsättningen av tillgängliga. Om det finns en nyttofunktion och en budgetbegränsning ges, reduceras valproblemet till att maximera nyttan för givna priser och inkomster, eller minimera kostnaden för att anskaffa varor för givna priser och en given (minsta acceptabel) nyttonivå.

Problemen med nyttomaximering och kostnadsminimering är dubbla, och deras lösning leder till samma optimala resultat.

Lösningen på konsumentens problem är efterfrågans funktion (kartläggning). När det gäller nyttomaximeringsproblemet är lösningen den marshallska (walrasiska efterfrågan) funktionen och i fallet med kostnadsminimeringsproblemet den hicksianska efterfrågan funktionen .

Formalisering

När det gäller preferenser

Redovisningen av problemet i termer av preferenser är den mest allmänna, eftersom preferenser inte alltid kan representeras av en hjälpfunktion.

Om en preferensrelation sätts på uppsättningen av genomförbara alternativ , reduceras konsumentens uppgift till att hitta det mest föredragna alternativet från uppsättningen av tillgängliga. Formellt betyder detta att det optimala valet inte är sämre än något annat: $X$ ${\displaystyle \{\succeq \))$

x^{*}\succeq x,\,\forall x\in X

Om det dessutom antas att varorna är varor och har ett pris, och konsumentens inkomst är begränsad, utförs sökningen inom den fastställda budgeten . Då innebär valets optimalitet att varje annan tillåten uppsättning som är strikt bättre (i betydelsen av denna preferensrelation) än den givna inte hör till budgetuppsättningen:

x\succ x^{*}\implies p\cdot x>R

Lösningen på konsumentens problem är inte alltid den enda. I det allmänna fallet kan flera likvärdiga alternativ uppfylla optimalitetskriteriet samtidigt.

Att lösa problemet med hjälp av preferenser i det allmänna fallet är svårt. Därför är det vanligaste antagandet att preferenser kan representeras av en nyttofunktion, och en budgetbegränsning åläggs konsumentens val. Användningen av en nyttofunktion innebär att konsumenten beter sig rationellt.

Om verktygsfunktionen är kontinuerlig och differentierbar, blir det möjligt att använda metoderna för optimeringsteorin . Då kan konsumentens problem uttryckas i en av två former: i form av nyttomaximering (direkt problem) eller kostnadsminimering (dubbelproblem).

Problemet med verktygsmaximering

Användningsmaximeringsproblemet är ett direkt (marshalliskt) konsumentproblem för en given nyttofunktion och en given budgetrestriktion.

Låt vara nyttofunktionen för konsumenten, där är vektorn av alternativ (konsumentuppsättningar), som är en del av den tillåtna uppsättningen . Låt också vara en prisvektor och låt vara konsumentens disponibla inkomst. Konsumentens direkta uppgift är att maximera användbarheten på den tillåtna budget som anges av budgetbegränsningen : $u(x)$ $x$ $X$ $sid$ $R$ $px\leqslant R$

{\begin{cases}u(x)\rightarrow \max _{x}\\px\leqslant R\\x\i X\end{cases))

Under tillräckligt svaga antaganden är nyttofunktionen kontinuerlig och budgetuppsättningen avgränsad och stängd, så ett sådant problem har alltid en lösning ( Weierstrass sats ).

När hjälpfunktionen är differentierbar har första ordningens villkor för att lösa problemet formen:

{\frac {\partial u(x)}{\partial x_{l))}\leq \lambda p_{l},\,l=1,2,...L

var är Lagrange-multiplikatorn . Likhetstecknet motsvarar den interna lösningen av problemet (i den optimala lösningen är volymen av varor strikt större än noll), och olikhetstecknet motsvarar det vinkelformade (produkten ingår inte i den optimala korgen). Lösningen på detta problem är den marshallska (walrasiska) efterfrågan . $\lambda$ $x(p,R)$

Om vi ersätter den marshallska efterfrågan med den objektiva funktionen (nytta), så får vi den indirekta nyttofunktionen . $v(p,w)$

Kostnadsminimeringsproblem

Kostnadsminimeringsproblemet är det dubbla (hicksianska) konsumentproblemet och är formulerat som problemet med att minimera konsumentens kostnader för att skaffa en uppsättning varor, förutsatt att deras användbarhet inte är mindre än ett visst värde (de alternativ som väljs kommer inte att vara sämre än någon fast uppsättning varor):

{\begin{cases}ph\rightarrow \min _{h}\\u(h)\geqslant u(x)\\h\in X\end{cases))

var är någon grunduppsättning, och är en uppsättning inte sämre än från uppsättningen av tillåtna alternativ. $x$ $h$ $x$

Första beställningsvillkor :

\lambda {\frac {\partial u(x)}{\partial x_{l))}\leq p_{l},\,l=1,2,...L

var är Lagrange-multiplikatorn . Likhetstecknet motsvarar den interna lösningen av problemet, och olikhetstecknet motsvarar det kantiga. Lösningen på detta problem är Hickians efterfrågan . $\lambda$ $h(p,x)$

Om vi ersätter Hiskian-efterfrågan med objektivfunktionen får vi kostnadsfunktionen . $e(p,{\bar {u)))$

Dualitet

Problemen med nyttomaximering och kostnadsminimering är dubbla, det vill säga de leder till samma optimala lösning. Dessutom, genom att känna till det optimala i ett problem, kan man alltid hitta det optimala i ett annat utan att lösa det.

Vid den optimala punkten sammanfaller Marshallian och Hickian efterfrågan:

x^{*}(p,R)\equiv h(p,{\bar {u)))

Samtidigt är nyttan i minimeringsproblemet lika med maximivärdet för nyttofunktionen i maximeringsproblemet , och vice versa: minimikostnaden i det dubbla problemet är lika med den fasta inkomsten i rät linje . $v(p,e(p,{\bar {u))))={\bar {u))$ $e(p,v(p,R))=R$

Egenskaper för konsumentproblemlösningar

Om preferenser är lokalt omättliga , är nyttofunktionen två gånger kontinuerligt differentierbar och starkt kvasikonkav, då är den marshallska efterfrågefunktionen kontinuerligt differentierbar i priser och inkomst, och den hicksianska efterfrågefunktionen är kontinuerligt differentierbar i priser.

Det kan visas att lösningen på konsumentens direkta problem uppfyller följande villkor:

MU(x)=\lambda p

var är vektorn för marginalnyttor ( gradient för nyttofunktionen). $MU(x)$

det vill säga vektorn av marginalnyttor är proportionell mot vektorn av priser. Detta innebär att i det optimala valet är förhållandet mellan marginalnytta för enskilda varor ( marginalsubstitutionsgraden ) lika med förhållandet mellan deras priser:

MRS_{ij}={\frac {MU_{i}(x)}{MU_{j}(x)}}={\frac {p_{i}}{p_{j}}}

Se även

Anteckningar

↑ Busygin V.P., Zhelobodko E.V., Tsyplakov A. Mikroekonomi-tredje nivån: Lärobok // Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences. - 2005. - c. 103

Litteratur

Busygin V.P., E.V. Zhelobodko, A.A. Tsyplakov. Mikroekonomi - den tredje nivån. - Novosibirsk, 2003.
Cheremnykh Yu.N. Mikroekonomi. Avancerad nivå. - M. : INFRA-M, 2008. - 844 sid.
Fridman A. A. Föreläsningar om kursen i avancerad mikroekonomi. - M . : Publishing House of the State University Higher School of Economics, 2007. - ISBN 978-5-7598-0335-5 .