Nedbrytning av en rationell bråkdel till de enklaste

Nedbrytning av ett rationellt bråk till de enklaste är en representation av ett rationellt bråk som summan av ett polynom och de enklaste bråken. Nedbrytningen till de enklaste används i många problem, till exempel för integration [1] , expansion i en Laurent-serie [2] , beräkning av den inversa Laplace-transformen av rationella funktioner [3] .

Definition

Ett rationellt bråk kallas det enklaste om dess nämnare är graden av något irreducerbart polynom och graden av dess täljare är mindre än graden av detta irreducerbara polynom. [fyra]

Representationen av en bråkdel i formen , där är ett polynom och bråken är enkla, kallas nedbrytningen av en bråkdel till enkel . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+\summa _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}(x)}{ Q_{i}(x)}}$ $G(x)$ ${\frac {P_{i}(x)}{Q_{i}(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

En sådan representation finns för varje rationell bråkdel över ett fält och är unik upp till en permutation av termer.

Nedbrytningsmetoder

Val av hela delen

Varje rationell bråkdel över ett fält kan representeras unikt som summan av ett polynom (kallad heltalsdelen av bråket) och en egen bråkdel (kallad bråkdelen). [5] I sin tur kan vilken egen bråk som helst delas upp i summan av endast enkla bråk utan en polynomterm. Sålunda kan problemet med att sönderdela en bråkdel till den enklaste lösas i två steg: först, sönderdela till summan av heltals- och bråkdelen (denna procedur kallas valet av heltalsdelen), och varför dekomponera bråkdelen till summan av de enklaste.

Valet av heltalsdelen sker genom att dela polynomet i täljaren med polynomet i nämnaren i en kolumn. Den resulterande ofullständiga kvoten är heltalsdelen, och resten dividerat med utdelningen är bråkdelen.

Divisionsalgoritmen i en kolumn får vid varje iteration ett nytt värde på resten och kvoten. Innan vi börjar sätter vi värdet på resten lika med utdelningen och värdet på kvoten lika med 0.

Om graden av återstoden är mindre än graden av divisor, avslutas algoritmen.
Låt vara den återstående termen med den högsta graden, var den delningsterm med den högsta graden. Sedan lägger vi till kvoten och subtraherar från resten och går till steg 1. [6] ${\displaystyle ax^{n))$ ${\displaystyle bx^{m))$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}Q(x)$

I slutet får vi alltså den ofullständiga kvoten och resten . Som ett resultat , , där är ett egentligt bråk som expanderar till en summa av enkla bråk. Problemet reducerades till expansionen till summan av de enklaste reguljära bråken. $G(x)$ $R(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

Trots det faktum att de flesta metoder för att sönderdela en riktig bråkdel till de enklaste också kan tillämpas på en felaktig, är alla dessa metoder mycket mer komplicerade än att dela upp polynom i en kolumn. Att preliminärt hitta koefficienterna för heltalsdelen genom att dela upp i en kolumn minskar antalet koefficienter som måste sökas efter med "komplexa" metoder, vilket förenklar beräkningarna.

Metod för obestämda koefficienter

Metoden för obestämda koefficienter är att skriva ner expansionen till de enklaste med okända koefficienter, komponera ett ekvationssystem för dessa koefficienter och lösa det. Låt vara en riktig bråkdel i irreducible notation, vara nedbrytningen av nämnaren i irreducible faktorer. Då har nedbrytningen till enklaste formen . Multiplicera båda sidor av ekvationen med . Vi får polynomens likhet . Polynom är lika när deras koefficienter vid samma potenser är lika. Genom att likställa dem får vi ett system av linjära algebraiska ekvationer över med ekvationer och okända. När vi löser det får vi de önskade värdena . [7] ${\frac {P(x)}{Q(x)))$ $Q(x)=(Q_{i_{1}}(x))^{m_{1}}...(Q_{i_{n}}(x))^{m_{n}}$ $Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\summa _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$ $P(x)=\summa _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{m_{i}}A_{ij}(Q_{1}(x))^{ m_{1}}...(Q_{i-1}(x))^{m_{i-1}}(Q_{i}(x))^{m_{i}-j}(Q_{i +1}(x))^{m_{i+1}}...(Q_{n}(x))^{m_{n}}$
$A_{{ij}}$ $n$ $n$ $A_{{ij}}$

De resulterande ekvationerna är ofta ganska besvärliga. Därför försöker de i praktiken, genom substitution, få enklare ekvationer. Det allmänna schemat för denna teknik är som följer: likhet multipliceras med något polynom, och sedan ersätts något specifikt värde i det istället för x. Oftast multiplicerar du med och ersätter dess rot. Således försvinner nästan alla termer och en ganska enkel ekvation erhålls, som gör att en av koefficienterna kan beräknas nästan omedelbart. Denna teknik låter dig hitta koefficienter vid högre potenser av linjära faktorer. [8] Du kan till och med använda en rot som inte hör till huvudfältet som en inline rot. Till exempel använder reella tal ofta komplex rotsubstitution och sätter sedan likhetstecken mellan de reella och imaginära delarna av ekvationen. Du kan göra samma sak för ett godtyckligt fält. Denna ekvation är dock inte nödvändig, de saknade ekvationerna kan erhållas på andra sätt. Oändlighetssubstitution används också ibland: de multipliceras med ett av de linjära polynomen som ingår i expansionen och ersätter oändlighet (här blir bråkens korrekthet väsentlig). Denna teknik låter dig helt enkelt hitta koefficienterna vid den första graden av linjära faktorer. [9] I allmänhet kan transformationen av ekvationen och den efterföljande substitutionen vara vad som helst, det är bara viktigt att denna substitution är vettig och inte förvandlar termerna till oändligheter. Till exempel, när du ersätter roten av nämnaren måste du först multiplicera ekvationen med ett polynom som eliminerar division med 0, och när du ersätter oändlighet, titta så att ingen heltalsterm som innehåller . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\summa _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$

$Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$
$x$

Att lösa ett system med linjära algebraiska ekvationer är en ganska mödosam process, varför man i praktiken använder mindre universella, men enklare metoder.

Heavisides omslagsmetod

Heaviside-metoden består i att direkt beräkna koefficienterna med hjälp av följande formel. Låt det finnas en linjär faktor i nedbrytningen till irreducerbara faktorer och vara dess mångfald. Nedbrytningen till enklaste termer innehåller termer av formen , där . Sedan $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\frac {B_{j}}{(xa)^{j}}}$ $1\leq j\leq m$

$B_{m}={\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ är Heaviside-formeln [10]

Heaviside-formeln gör att du omedelbart kan få de flesta koefficienterna utan några svårigheter, varför den används mycket i praktiken. Om nämnaren för ett bråk delas upp i linjära faktorer kan Heaviside-metoden användas för att få hela expansionen på en gång. Om inte, kräver beräkningen av de återstående koefficienterna användning av andra metoder, till exempel metoden med obestämda koefficienter.

Lagranges metod

Lagrangemetoden erbjuder en annan formel för att beräkna koefficienterna. Låt vara roten till nämnaren för multiplicitet 1. Då är koefficienten vid lika med $a$ $A$ ${\frac {1}{xa))$

$A={\frac {P(x)}{Q'(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ är Lagrangeformeln. [elva]

I likhet med Heaviside-metoden låter Lagrange-metoden dig omedelbart hitta nedbrytningen till den enklaste om nämnaren är uppdelad i linjära faktorer.

Generalisering av Lagranges formel

Lagranges formel kan generaliseras för multiplicitetsroten : $m$

${\displaystyle A_{m}=m!{\frac {P(x)}{Q^{(m)}(x))){\Bigr |}_{x=a))$ , var är koefficienten vid . [12] $A_{m}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(xa)^{m))))$

Således kan alla koefficienter som kan hittas med denna formel hittas med hjälp av Heaviside-formeln och vice versa.

Ta ut upprepade multiplikatorer

Ett sätt att hitta de återstående koefficienterna utan att använda metoden med obestämda koefficienter är att ta ut upprepade faktorer. [13] Betrakta det med ett exempel.

Låt oss utöka bråket . Låt oss ta bort de återkommande faktorerna. . Rätt faktor består endast av linjära faktorer, vilket gör att den kan utökas med Heaviside- eller Lagrange-metoden. Låt oss bryta ner. . Låt oss utöka parenteserna. . Vi känner redan till nedbrytningen av den högra fraktionen till enkla. är den önskade nedbrytningen. ${\frac {1}{(s+1)^{2}(s+2)))$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{(s+1)(s+2)))\right)$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}\right)$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)(s+2)))$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{s+1}}+{\frac {1}{s+2}}$

Rekursiv metod

Metoden är att hitta alla de högsta enkla termerna med den högsta graden med hjälp av Heaviside-metoden (eller generaliserat lagrange), sedan subtrahera från den ursprungliga bråkdelen och upprepa denna procedur för den resulterande bråkdelen. [fjorton]

Låt oss utöka bråket . Låt oss hitta de högsta enkla termerna: . Subtrahera dem från den ursprungliga bråkdelen. . Den resulterande fraktionen är summan av de återstående enkla fraktionerna, vilket betyder att dessa återstående fraktioner inte är något annat än nedbrytningen av den resulterande fraktionen till enkla. Vi hittar återigen de högsta enkla termerna. . Subtrahera. . Resultatet är en egen bråkdel, vilket betyder att alla termer för expansionen finns. . ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3))))$
$-{\frac {1}{(x-1)^{2}}},{\frac {1}{(x-2)^{3}}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3}}}={\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)))$
$-{\frac {2}{(x-2)^{2}}},-{\frac {3}{x-1}}$
${\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)}}+{\frac {2}{(x-2)^{2}}}+{\ frac {3}{x-1}}={\frac {3}{x-2}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}={\frac {1}{(x-2)^{3}}}- {\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{(x-2)^{2}}}-{\frac {3}{x-1}} +{\frac {3}{x-2}}$

Den största svårigheten med denna metod är subtraktionen av fraktioner med dess efterföljande reduktion. För att förenkla detta steg, utför följande trick.

Låt oss hitta det . Bråkens nämnare är redan känd för oss: den divideras med produkten (utan att ta hänsyn till multipliciteten). Därför är uppgiften att hitta . För att göra detta multiplicerar vi hela ekvationen med . Vi får vad som är lika med summan av bråk. Men eftersom summan av egentliga bråk återigen är en egen bråkdel, kommer summan av bråkdelarna av dessa bråk att vara lika med 0, och själva polynomet kommer att vara lika med summan av heltalsdelarna. Det räcker alltså att bara hitta den ofullständiga kvoten för divisionen av dessa bråk, och ignorera resten. Med denna modifiering kallas denna metod metoden för att kassera rester . [femton] ${\frac {R(x)}{D(x)}}={\frac {P(x)}{Q(x)))-\summa _{i=1}^{n}{ \frac {A_{i}}{(x-x_{i})_{i}^{m}}}$
$D(x)$ $Q(x)$ $(x-x_{i})$ $R(x)$ $D(x)$ $R(x)$

Låt oss ta ett exempel från ovan. . Låt oss multiplicera med . Den första termen är korrekt, så den kan kasseras. Vi betraktar heltalsdelen av den andra termen. Låt oss dela med i en kolumn. Vi får . På samma sätt är heltalsdelen av den sista termen −1. Vi lägger ihop dem och får önskat polynom - .
${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3))))$ $D(x)$
${\frac {1}{(x-1)(x-2)}}+{\frac {(x-2)^{2}}{x-1}}-{\frac {x- 1}{x-2}}$ ${\displaystyle (x-2)^{2))$ $x-1$ $x-3$ $x-4$

Enkla transformationer

Ibland kan nedbrytning till det enklaste erhållas helt enkelt genom att omvandla uttryck. [16]

{\frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {x^{2}-(x^{2}+ 1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {(x^ {2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}+1}}

Metod för avdrag

Heaviside-formeln kan generaliseras till en godtycklig koefficient.

Låt det finnas en linjär faktor i nedbrytningen till irreducerbara faktorer och vara dess mångfald. Nedbrytningen till enklaste termer innehåller termer av formen , där . Sedan: $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\displaystyle {\frac {B_{k}}{(xa)^{k))))$ $1\leq k\leq m$

$B_{k}={\frac {1}{(mk)!}}\left({\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)))\right) ^{(mk)}{\Bigr |}_{x=a}$ [12]

För multiplikatorer med hög multiplicitet kräver denna formel beräkning av derivatan av en rationell bråkdel av hög ordning, vilket är en ganska tidskrävande operation.

Koefficienter för högre grads polynom

Om nämnaren för det enklaste bråket innehåller ett irreducerbart polynom som är högre än den första graden, kan endast metoden med obestämda koefficienter användas för att hitta dess täljare, av alla uppräknade metoder. Detta problem kan dock undvikas genom att hitta den elementära nedbrytningen i den algebraiska stängningen av fältet (eller, mer exakt, i vilken förlängning som helst som innehåller nämnardekomponeringsfältet ), och sedan lägga till termer med konjugerade nämnare. Denna metod används mycket ofta för att hitta nedbrytningen till den enklaste över fältet av reella tal. [17]

Tänk på ett exempel. Låt oss hitta en sönderdelning . Låt oss gå vidare till området komplexa tal och utöka nämnaren till linjära faktorer. . Låt oss använda Heaviside-metoden. . Lägg nu till bråk med konjugerade nämnare. är den önskade nedbrytningen.
${\frac {1}{(x^{2}+1)(x+1)))$
${\frac {1}{(x+i)(xi)(x+1)}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(i+1)))}{ xi}}-{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(-i+1)}}}{x+i}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-x)}{ x^{2}+1}}$

Kombinationer av metoder

Ovanstående metoder ger sätt att beräkna individuella koefficienter, men de kräver inte beräkning av resten med denna speciella metod. Således kan du kombinera dessa metoder på vilket sätt du vill: beräkna en koefficient med Heaviside-metoden, en annan med Lagrange-metoden och resten med metoden med obestämda koefficienter, vilket redan kommer att vara mycket enklare än om alla koefficienter var okända . Användningen av lämpliga metoder i de nödvändiga fallen kommer att göra det möjligt att enkelt och effektivt hitta nedbrytningen.

Variationer och generaliseringar

I den euklidiska ringen

Begreppet den enklaste fraktionen kan generaliseras på ett självklart sätt för fältet av fraktioner av den euklidiska ringen . Vi kallar ett bråk ett eget bråk om den euklidiska normen för dess täljare är mindre än den euklidiska normen för dess nämnare. Vi kallar ett egenbråk det enklaste om dess nämnare innehåller ett irreducerbart element till viss del. Då definieras nedbrytningen av ett bråk till de enklaste som en representation i form av en summa av något element från den euklidiska ringen och enklaste bråk.

För varje fraktion från fältet av fraktioner av den euklidiska ringen sker en nedbrytning till de enklaste, men inte för någon euklidisk ring kommer den alltid att vara unik. [18] Till exempel, över heltal, kan bråk ha flera expansioner: (här är den euklidiska normen modulen för ett heltal, är det enklaste bråket, så det är en enkel expansion av sig själv, men samtidigt var vi kan få ytterligare en expansion). ${\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{4))$

Den enklaste nedbrytningen är unik för alla element i fältet av kvotienter för en euklidisk ring om och endast om denna ring antingen är ett fält eller är isomorf till en polynomring över ett fält (desutom är den euklidiska normen ekvivalent med graden av en polynom). [19] .

I heltal

För heltal kan en alternativ definition av faktorisering övervägas. Vi kräver att alla de enklaste termerna är positiva. Sedan för alla rationella tal finns det en unik faktorisering till de enklaste. [tjugo]

Till exempel är den enda nedbrytningen till enklaste termer med positiva enklaste termer. Om de negativa elementära termerna är tillåtna kommer expansionen inte längre att vara unik, vilket redan har visats ovan. ${\frac {77}{12}}=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{3}}$

Se även

Anteckningar

↑ Zorich, 2019 , sid. 292.
↑ Krasnov, 1971 , sid. 51.
↑ Krasnov, 1971 , sid. 125.
↑ Faddeev, 1984 , sid. 187.
↑ Faddeev, 1984 , sid. 184.
↑ Faddeev, 1984 , sid. 168.
↑ Brazier, 2007 , sid. 2.
↑ Gustafson, 2008 , sid. 2.
↑ Gustafson, 2008 , sid. 5.
↑ Gustafson, 2008 , sid. 3.
↑ Hazra, 2016 , sid. 28.
↑ 12 Bauldry , 2018 , sid. 429.
↑ Gustafson, 2008 , sid. fyra.
↑ Man, 2009 , sid. 809.
↑ Brazier, 2007 , sid. 809.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 502.
↑ Bauldry, 2018 , sid. 430.
↑ Bradley, 2012 , sid. 1526.
↑ Bradley, 2012 , sid. 1527.
↑ Bradley, 2012 , sid. 1528.

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analys. Del 1 . - 10:e upplagan. — M. : MTsNMO, 2019. — 564 sid. (ryska)
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funktioner av en komplex variabel. operativ kalkyl. Stabilitetsteorin . - M . : Nauka, 1971. - 256 sid. (ryska)
Faddeev DK föreläsningar om algebra . - M . : Nauka, 1984. - 416 sid. (ryska)
Bauldry WC Partial Fractions via Calculus // Daniel Alpay Problem , Resources, and Issues in Mathematics Grundstudier: Journal. - 2018. - 9 maj ( vol. 28 , utg. 5 ). — S. 425–437 . — ISSN 1051-1970 . - doi : 10.1080/10511970.2017.1388312 .
Gustafson GB Hevisides metod (eng.) (pdf). Grant B. Gustafson på math.utah.edu (2008). Hämtad: 1 juli 2021.
Brazier RA, Boman EC Hur man beräknar den partiella bråknedbrytningen utan att verkligen försöka // AMATYC Review: Journal. - 2007. - Vol. 21 , nr. 1 . — S. 20–29 . — ISSN 0740-8404 .
Hazra M. Decomposition of Partial Fractions Using Lagrange Method // Research Journal Of Pure Science : tidskrift. - 2016. - Vol. 5 , nej. 2 . — S. 27–32 . — ISSN 2348-5361 .
Yiu-Kwong Man. En förbättrad Heaviside-strategi för partiell bråkexpansion och dess tillämpningar // International Journal of MathematicalEducation in Science and Technology : Journal. - 2009. - 4 augusti ( vol. 40 , utg. 6 ). — S. 808–814 . - doi : 10.1080/00207390902825310 .
Bradley WT, Cook WJ Två bevis på existensen och unikheten av den partiella bråknedbrytningen (engelska) // International Mathematical Forum : Journal. - 2012. - Vol. 7 , nr. 31 . — S. 1517–1535 .
Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. I 3 volymer. Volym 1. Differential- och integralkalkyl av funktioner för flera variabler . - M . : Bustard, 2003. - 704 sid. (ryska)