Utjämnande operatör

Utjämningsoperatorer är jämna funktioner med speciella egenskaper som används i distributionsteorin för att konstruera en sekvens av jämna funktioner som approximerar en icke-jämn (generaliserad) funktion med hjälp av faltning . Intuitivt, att ha en funktion med singulariteter och konvolvera den med en utjämningsfunktion, får vi en "utjämnad funktion", där funktionerna i den ursprungliga funktionen utjämnas, även om funktionen förblir nära den ursprungliga funktionen [1] . Operatörerna är också kända som släta Friedrichs-operatörer vid namn Kurt Otto Friedrichs , som diskuterade dem i ett papper från 1944 [2] .

Historiska anmärkningar

Utjämningsoperatorer introducerades av Kurt Otto Friedrichs i en tidning från 1944 [2] som nu anses vara en vattendelare i den moderna teorin om partiella differentialekvationer [3] .

Före detta papper användes utjämningsoperatorer av Sergei L'vovich Sobolev i hans framstående skrift från 1938 [4] , som innehåller ett bevis på Sobolevs inbäddningssats , och Friedrichs [5] erkände själv Sobolevs arbete med utjämningsoperatorer, skrivande : " Dessa utjämningsoperatorer introducerades av Sobolev och författaren ... ".

Det bör påpekas att det finns en viss oenighet om konceptet med en utjämningsoperator - Friedrichs definierar som en " utjämningsoperator " en integraloperator vars kärna är en av de funktioner som nu kallas utjämningsoperatorer. Men eftersom egenskaperna hos en linjär integraloperator helt bestäms av dess kärna, ärvdes namnet "utjämningsoperator" av själva kärnan.

Definition

Den moderna (distributionsbaserade) definitionen

Om är en jämn funktion på , n ≥ 1, som uppfyller följande tre krav $\varphi$ $\mathbb {R} ^{n}$

(1) Funktionen har kompakt stöd [6] (2)

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1

(3)

\lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )= \delta(x)

var är Dirac delta-funktionen och gränsen måste förstås i Schwartz-utrymmet av distributioner , då är en utjämningsoperator . Funktionen kan uppfylla ytterligare villkor [7] . Till exempel om den tillfredsställer $\delta(x)$ $\varphi$ $\varphi$

(4) för alla kallas funktionen en positiv utjämningsoperator

\varphi (x)\geqslant 0

x \in \mathbb{R}^n

(5) för en oändligt differentierbar funktion kallas funktionen för en symmetrisk utjämningsoperator .

\varphi (x)=\mu (|x|)

\mu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R}

Anmärkningar om definitionen av Friedrichs

Anmärkning 1 . När teorin om fördelningar ännu inte var utbredd [8] formulerades egenskapen (3) ovan enligt följande: faltningen av en funktion med en given funktion som tillhör ett lämpligt Hilbert- eller Banach- rum konvergerar som ε → 0 till en deltafunktion [9 ] , det är precis vad Friedrichs [10] . Detta förklarar också varför utjämningsoperatorer är associerade med approximativa enheter . [elva] ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon ))$

Anmärkning 2 . Som kort sagt i avsnittet "Historiska anteckningar" hänvisade termen "utjämnande operatör" ursprungligen till följande faltningsoperator [11] [12] :

\Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n))\varphi _{\epsilon }(xy)f(y)\mathrm {d} y

där och är en jämn funktion som uppfyller de tre första villkoren ovan och ett eller flera ytterligare villkor såsom positivitet och symmetri. $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ $\varphi$

Exempel

Betrakta en funktion av en variabel från $\varphi$ $(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$

$\varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&|x|<1\\0&|x| \geqslant 1\end{cases}}$ ,

där konstanten ger normalisering. Det är lätt att se att denna funktion är en oändligt differentierbar icke-analytisk funktion med en försvinnande derivata för | x | = 1 . Funktionen kan därför användas som en utjämningsoperator enligt beskrivningen ovan - det är lätt att se vad som definierar en positiv symmetrisk utjämningsoperator [13] . $I_{n}$ $\varphi$ $\varphi$ $(x)$

Egenskaper

Alla egenskaper hos utjämningsoperatorn är relaterade till dess beteende under faltningsoperationen - vi listar de vars bevis kan hittas i vilken bok som helst om distributionsteori [14] .

Kantutjämningsegenskaper

För varje fördelning, följande familj av faltningar, indexerad med ett reellt tal , $T$ $\epsilon$

{\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon ))

där betyder faltning , är en familj av smidiga funktioner . $\ast$

Ungefärlig enhet

För varje fördelning konvergerar följande familj av faltningar, indexerad med reellt tal , till $T$ $\epsilon$ $T$

\lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }( \mathbb {R} ^{n})

Convolution Carrier

För all distribution , $T$

\mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }

var är bäraren av distributionen och är Minkowski summan . $\mathrm {supp}$ $+$

Applikationer

Huvudapplikationen för utjämningsoperatorer är att bevisa giltigheten av egenskaper hos icke-släta funktioner som är sanna för jämna funktioner :

Produkt av distributioner

I vissa generaliserade funktionsteorier används utjämningsoperatorer för att bestämma produkten av distributioner . Nämligen, om två fördelningar och ges , gränsen för produkten av en jämn funktion och fördelning $S$ $T$

\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} } {=}}S\cdot T

bestämmer (om det finns) produkten av fördelningar i olika generaliserade funktionsteorier .

Svag=starka satser

Mycket informellt utjämnande operatorer används för att bevisa likheten mellan två olika typer av förlängningar av differentialoperatorer - en stark förlängning och en svag förlängning . Friedrichs artikel [15] illustrerar detta koncept ganska bra, men det stora antalet tekniska detaljer som kommer att behöva avslöjas tillåter oss inte att helt presentera detta koncept i vår korta beskrivning.

Smidiga skärfunktioner

Genom att konvolvera den karakteristiska funktionen för enhetskulan med en jämn funktion (definierad som i ekvation (3) med ), får vi funktionen $B_{1}=\{x:|x|<1\}$ $\varphi _{1/2}$ $\scriptstyle \epsilon =1/2$

\chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1))\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb { R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1 /2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi _ {1/2})=B_{1/2})

som är slät , lika med , med och vars stöd finns i . Detta är lätt att se om vi tar hänsyn till att för ≤ och ≤ ≤ är sant . Därför, för ≤ , $ett$ ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\))$ $B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}$ $|x|$ $1/2$ $|y|$ $1/2$ $|xy|$ $ett$ $|x|$ $1/2$

\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y= \int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1

Det är lätt att se hur denna konstruktion kan generaliseras för att erhålla en jämn funktion lika med ett i en grannskap av en given kompakt mängd och lika med noll vid vilken punkt som helst, varifrån avståndet till denna mängd är större än en given etta [16 ] . En sådan funktion kallas en (smidig) skärfunktion - sådana funktioner används för att skära ut funktionerna i en given ( generaliserad ) funktion genom att multiplicera . Multiplikation med en sådan funktion ändrar inte värdet på den ( generaliserade ) funktionen endast på den givna mängden , men det ändrar stödet för funktionen. $\scriptstyle \epsilon$

Se även

Ungefärlig enhet
Icke-analytisk smidig funktion
Buffertfunktion
Veck
Weierstrass transformation
Generisk funktion, distribution
Kurt Otto Friedrichs
Sergey Lvovich Sobolev

Anteckningar

↑ I något topologiskt utrymme av generaliserade funktioner.
↑ 1 2 Friedrichs, 1944 , sid. 136–139.
↑ Se Peter Lax kommentar till artikeln av Friedrichs ( Friedrichs 1944 ) i boken ( Friedrichs 1986 , volym 1, s. 117). På engelska har namnet på detta matematiska objekt "mollifier" ett märkligt ursprung. Peter Laks ger hela historien om detta namn i sin kommentar ( Friedrichs 1986 , volym 1, s. 117). Enligt Lax var matematikern Donald Alexander Flanders Archived 8 juni 2017 på Wayback Machine vid den tiden en kollega till Friedrichs och tyckte om att ge råd till kollegor om användningen av det engelska språket. Friedrichs bad Fluders att komma på ett namn för utjämningsoperatörerna. Flandern var en puritan och hans vänner kallade Moll, efter den pikareska romanen Moll Flenders, som ett erkännande av hans moraliska egenskaper. Flandern föreslog ett nytt matematiskt namn, mollifier , som är en lek med namnet Moll och verbet att mollify , som betyder bildligt utjämning . Friedrichs använde gärna detta skämt i artikeln.
↑ Sobolev, 1938 .
↑ Friedrichs, 1953 , sid. 196.
↑ Vad är buffertfunktioner
↑ Giusti 1984 , sid. elva.
↑ Friedrichs artikel ( Friedrichs 1944 ), publicerades några år före publiceringen av Laurent Schwartz , varefter Friedrichs verk blev allmänt känt.
↑ Uppenbarligen kommer topologin att konvergera om Hilbert eller Banach anses .
↑ Se Friedrichs 1944 , s. 136–138, egenskaperna PI , PII , PIII och deras följder PIII 0 .
↑ 1 2 Friedrichs skriver i detta sammanhang ( Friedrichs 1944 , s. 132): " Det huvudsakliga bevismedlet är en viss klass av jämna operatorer av approximativa enheter, 'utjämnande operatorer' ."
↑ Se Friedrichs 1944 , s. 137, stycke 2, " Integraloperatorer ".
↑ Se Hörmander 1990 , s. 14, Lemma 1.2.3. — exemplet formuleras explicit genom att först definiera f ( t ) = exp(-1/ t ) för t ∈ ℝ + , och sedan beakta f ( x ) = f (1-| x | 2 ) = exp(-1/ (1-| x | 2 )) för x ∈ ℝ n .
↑ Hörmander, 1990 .
↑ Friedrichs, 1944 .
↑ Ett bevis för detta faktum kan hittas i Hörmanders artikel ( Hörmander 1990 , s. 25), Sats 1.4.1.

Litteratur

Kurt Otto Friedrichs . Identiteten för svaga och starka förlängningar av differentialoperatorer // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Januari ( vol. 55 , utg. 1 ). - S. 132-151 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0 . — . . Den första artikeln där utjämningsoperatörer introducerades.
Kurt Otto Friedrichs . Om differentierbarheten hos lösningarna av linjära elliptiska differentialekvationer // Communications on Pure and Applied Mathematics . - 1953. - Vol. VI , iss. 3 . — S. 299–326 . - doi : 10.1002/cpa.3160060301 . (inte tillgänglig länk). En artikel därdifferentierbarhetenav lösningar av elliptiska partiella differentialekvationer undersöks med hjälp av utjämningsoperatorer.
Kurt Otto Friedrichs . Selecta / Cathleen S. Morawetz. — Boston- Basel - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , 1986. — Vol. 1, 2. - 427 (vol. 1); 608 (vol. 2) sid. — (Samtida matematiker). - ISBN 0-8176-3270-0 . . Ett urval av Friedrichs verk med biografi och kommentarer av David Isaacson, Fritz John, Toshio Kato,Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Vasow, Harold Weitzer.
Enrico Giusti. Minimala ytor och funktioner av avgränsade variationer . - Basel - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag, 1984. - Vol. 80.-xii+240 sid. — (Monografier i matematik). - ISBN 0-8176-3153-4 3-7643-3153-4.
Lars Hormander . Analysen av linjära partiella differentialoperatorer I. - Berlin - Heidelberg - New York : Springer-Verlag , 1990. - Vol. 256. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft). - ISBN 0-387-52343-X 3-540-52343-X.
Sergei L. Sobolev . Om ett teorem om funktionsanalys // Matematisk samling . - 1938. - T. 4 (46) , nr. 3 . — S. 471–497 . . Artikeln där Sergei Sobolev ger ett bevis på sin inbäddningssats introducerar och använderintegraloperatorersom är mycket lika utjämningsoperatorer, men namnger dem inte.