Symmetri och antisymmetri av en funktion

Symmetrisering är en process som omvandlar vilken funktion som helst av n variabler till en symmetrisk funktion av n variabler.

Antisymmetriisering omvandlar vilken funktion som helst av n variabler till en antisymmetrisk funktion.

Två variabler

Låt vara en uppsättning och vara en abelsk grupp . Om en mappning ges kallas den en symmetrisk mappning om . $S$ $A$ $\alpha \colon S\times S\to A$ $\alfa$ $\alpha (s,t)=\alpha (t,s)\forall s,t\in S$

En kartläggningssymmetrisering är en kartläggning . $\alpha \colon S\times S\to A$ $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x)$

Antisymmetriseringen eller skevsymmetriseringen av en mappning är en mappning . $\alpha \colon S\times S\to A$ $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x)$

Summan av symmetriseringen och antisemitriseringen av kartläggningen α är lika med 2 α . Således, om en ring kan delas med 2 (inversen av fördubbling), såsom de reella talen, kan vilken funktion som helst representeras som summan av en symmetrisk och en antisymmetrisk funktion.

Symmetriseringen av en symmetrisk mappning motsvarar en fördubbling, medan symmetriseringen av en alternerande mappning är lika med noll. På liknande sätt är antisymmetriseringen av en symmetrisk mappning noll, medan antisymmetriseringen av en alternerande mappning motsvarar en fördubbling av den.

Bilinjära former

Symmetri och antisymmetri av en bilinjär kartläggning är bilinjär kartläggning. Om en ring är delbar med 2 är valfri bilinjär form summan av en symmetrisk form och en skevsymmetrisk form, och det finns ingen skillnad mellan symmetriska och kvadratiska former.

Om ringen inte tillåter division med 2, kan inte alla former delas upp i symmetriska och skevsymmetriska. Så, till exempel, över heltal, kan den associerade symmetriska formen (över rationella tal) använda halvor av heltalsvärden, medan den över en funktion är skevsymmetrisk om och bara om den är symmetrisk (eftersom 1 = −1 ). $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,$

Detta leder till föreställningen om ε-kvadratiska former och ε-symmetriska former.

Representationsteori

När det gäller representationsteori :

permutation av variabler ger en representation av den symmetriska gruppen i funktionsutrymmet för två variabler,
symmetriska och antisymmetriska funktioner är underrepresentationer som motsvarar den triviala representationen och den signerade representationen
symmetrisering och antisymmetrisering mappar funktionen till dessa underrepresentationer och om ringen kan delas med 2 ger detta projektionerna .

Eftersom den symmetriska gruppen av ordning 2 är lika med den cykliska gruppen av ordning 2 ( ), motsvarar detta den diskreta Fouriertransformen av ordning 2. ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2))$

n variabler

Mer generellt, givet en funktion av n variabler, kan man symmetriska den genom att ta summan över alla permutationer av variablerna [1] eller antisymmetrisera genom att ta summan över alla jämna permutationer och subtrahera summan av alla udda permutationer från den (förutom för fallet n ≤ 1 , när det bara finns en permutation, så antalet permutationer är udda). $n!$ $n!/2$ $n!/2$

I detta fall multipliceras symmetriseringen (respektive antisymmetriseringen) av den symmetriska funktionen med . Således, om ringen är delbar med , vilket är fallet för ett område av karakteristiska eller , Detta ger en projektion när delas med . $n!$ $n!$ $0$ $p>n$ $n!$

När det gäller representationsteori finns det underrepresentationer som motsvarar det triviala och undertecknade, men för fallet finns det andra - se Representationsteori för den symmetriska gruppen och Symmetrisk polynom . $n > 2$

Bootstrap

Givet en funktion av k variabler kan du få en symmetrisk funktion av n variabler genom att ta summan över delmängder av de k variablerna. I statistiken kallas detta en bootstrap , och den tillhörande statistiken kallas U-statistik .

Anteckningar

↑ Hazewinkel, 1990 , sid. 344.

Litteratur

Länkar

Michiel Hazewinkel. Encyclopaedia of mathematics: en uppdaterad och kommenterad översättning av den sovjetiska "Mathematical encyclopaedia" . - Springer, 1990. - V. 6. - (Encyclopaedia of Mathematics). - ISBN 978-1-55608-005-0 .