Spår (fältteori)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 juli 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Spårning är en avbildning av elementen i den slutliga förlängningen av fältet till det initiala fältet K , definierat enligt följande: $E\upprörd K$

Låt E vara en finit förlängning K av grad , vara ett element i fältet E. Eftersom E är ett vektorrum över ett fält K , definierar detta element en linjär transformation . Denna transformation kan på något sätt associeras med matrisen . Spåret av denna matris kallas spåret av elementet α . Eftersom denna mappning i en annan bas kommer att motsvara en liknande matris med samma spår, beror spåret inte på valet av bas, det vill säga varje element i förlängningen är unikt associerat med dess spår. Den betecknas eller, om det är tydligt vilken förlängning det är fråga om, helt enkelt . $n=[E:K]$ $\alfa \i E$ $x\mapto \alpha x$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )$ ${\text{Tr}}(\alpha )$

Spåra egenskaper

${\text{Tr))(\alpha +\beta )={\text{Tr))(\alpha )+{\text{Tr))(\beta )$
${\text{Tr))(c\alpha )=c{\text{Tr))(\alpha )$ på $c\in K$
Om E är en separerbar förlängning av är en funktion som inte är noll; om den inte är separerbar så är . ${\text{Tr}}_{K}^{E}$ ${\text{Tr}}_{K}^{E}=0$
Spåret är transitivt, det vill säga för en kedja av förlängningar vi har $K\delmängd E\delmängd F$ ${\text{Tr))_{K}^{E}({\text{Tr))_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr))_{K}^{ F}(\alpha )$
If är en enkel algebraisk förlängning och är ett minimalt polynom α, alltså $E=K(\alpha )$ ${\displaystyle f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0))$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=-a_{{n-1}}$

Spåra uttryck i termer av automorfismer av E över K

Låt σ 1 ,σ 2 …σ m vara alla automorfier av E som lämnar element i K fixerade . Om E är separerbar är m lika med graden [E:K]=n . Sedan finns det följande uttryck för spåret:

${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )$

Om E inte är separerbar så är m≠n , men n är en multipel av m , och kvoten är någon grad av karakteristisk p: n= pi m .

Sedan ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\ sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}$

Exempel

Låt K vara fältet för reella tal och E fältet för komplexa tal . Då är spåret av numret . Spåret av ett komplext tal kan beräknas med formeln , och detta stämmer väl överens med det faktum att komplex konjugering är den enda automorfismen i området för komplexa tal. $a+bi$ $2a$ ${\text{Tr}}\;z=z+{\bar z}$

Se även

Norm (fältteori)

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O. , Samuel P. Kommutativ algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967