Matematisk struktur är ett namn som förenar begrepp vars gemensamma drag är deras tillämpbarhet på mängder , vars natur inte är definierad. För att bestämma själva strukturen specificeras relationer där elementen i dessa uppsättningar finns. Sedan postuleras att dessa relationer uppfyller vissa villkor, som är axiom för den betraktade strukturen [1] .
Konstruktionen av en axiomatisk teori om någon struktur är härledningen av logiska konsekvenser från strukturens axiom, utan några andra antaganden om de element som övervägs, och i synnerhet från några hypoteser om deras "natur".
Strukturbegreppet var ursprungligen informellt. I Bourbakis verk konstruerades en formell teori om strukturer, som var tänkt att vara grunden för matematiken, men denna teori var inte fixerad i en sådan roll.
De relationer som är utgångspunkten i definitionen av strukturen kan vara mycket olika.
Den viktigaste typen av strukturer är algebraiska strukturer . Till exempel en relation som kallas "sammansättningslagen", det vill säga en relation mellan tre element som unikt bestämmer det tredje elementet som en funktion av de två första. När sambanden i definitionen av en struktur är "sammansättningslagar" kallas motsvarande matematiska struktur en algebraisk struktur. Till exempel, strukturerna för en slinga , en grupp , ett fält definieras av två kompositionslagar med lämpligt valda axiom. Så addition och multiplikation på mängden av reella tal bestämmer fältet på mängden av dessa tal.
Den andra viktiga typen representeras av strukturer som definieras av ordningsrelationen , det vill säga ordningsstrukturer . Detta är förhållandet mellan två element , som vi oftast uttrycker med orden " mindre än eller lika med " och som allmänt betecknas som . I detta fall antas det inte att denna relation unikt identifierar ett av elementen som en funktion av det andra.
Den tredje typen av strukturer är topologiska strukturer , där de intuitiva begreppen grannskap , gräns och kontinuitet förverkligas genom en abstrakt matematisk formulering med hjälp av allmän topologi .
En grupp matematiker, förenade under namnet Nicolas Bourbaki , presenterade i artikeln " The Architecture of Mathematics " (1948) matematik som en trenivåhierarki av strukturer, som går från enkla till komplexa, från allmänt till särskilt.
På den första nivån introduceras de huvudsakliga (genererande) matematiska strukturerna, bland dem, eftersom de viktigaste genererande ( fr. les structures-mères ) särskiljs:
I var och en av dessa typer av strukturer finns tillräcklig mångfald. Samtidigt bör man skilja mellan den mest allmänna strukturen av den aktuella typen med det minsta antalet axiom och de strukturer som erhålls från den som ett resultat av dess berikning med ytterligare axiom, som vart och ett medför nya konsekvenser.
Komplexa matematiska strukturer ( fr. multipler ) placeras på den andra nivån - strukturer som samtidigt inkluderar en eller flera genererande strukturer, men inte bara kombinerade med varandra, utan organiskt kombinerade med hjälp av axiom som förbinder dem. Topologisk algebra studerar till exempel strukturer som definieras av kompositionslagar och topologisk struktur, vilka är förbundna med villkoret att algebraiska operationer är kontinuerliga (i den betraktade topologin) funktioner av element. Ett annat exempel är algebraisk topologi , som betraktar vissa uppsättningar av punkter i rymden, definierade av topologiska egenskaper, som element på vilka algebraiska operationer utförs. Många av strukturerna som används i applikationer kan hänföras till den andra nivån, till exempel associerar händelsestrukturen en delordning med en speciell sorts binär relation.
På den tredje nivån - särskilda matematiska strukturer, där elementen i de uppsättningar som diskuteras, som var helt obestämda i de allmänna strukturerna, får en mer bestämd individualitet. Det är på detta sätt som sådana teorier om klassisk matematik som matematisk analys av funktioner hos en reell och komplex variabel, differentialgeometri , algebraisk geometri erhålls .
Begreppet struktur användes ursprungligen informellt i allmän algebra . Det mest kända försöket att formalisera detta koncept gjordes av Bourbaki (denna artikel bygger också på Bourbakis arbete); innan var det till exempel teorin om algebraiska strukturer av Oystin Ore [2] . Bourbaki använde sin teori om strukturer som grunden för matematik tillsammans med mängdlära . Men i själva verket är teorin om strukturer lite använd även i deras eget vidare arbete och har på det hela taget inte fixerats i matematiken [3] . Under 1940-1950-talet ledde de ackumulerade idéerna om likheten mellan en bred klass av algebraiska strukturer och ordningsstrukturer till skapandet av en universell algebra och begreppet ett algebraiskt system - en uppsättning som är utrustad med en uppsättning operationer och relationer (men , inte alla algebraiska strukturer i betydelsen Bourbaki uttrycks effektivt i språket universell algebra). Sedan 1960- och 1970-talen har idéerna om matematiska strukturer oftare uttryckts i kategoriteorin .