Summan av tre kuber

Summan av tre kuber är ett öppet problem  i matematik om representabiliteten av ett heltal som summan av tre kuber av heltal (positiva eller negativa) tal.

Motsvarande diofantiska ekvation skrivs som ett nödvändigt villkor för att ett tal ska kunna representeras som summan av tre kuber: när den divideras med 9 lämnar den inte kvar en rest av 4 eller 5.

I varianter av problemet måste talet representeras av summan av kuber av endast icke-negativa eller rationella tal. Vilket heltal som helst kan representeras som en summa av rationella kuber, men det är inte känt om summor av icke-negativa kuber bildar en mängd med asymptotisk densitet som inte är noll .

Historik

Frågan om att representera ett godtyckligt heltal som summan av tre kuber har funnits i cirka 200 år, den första kända parametriska lösningen i rationella tal gavs av S. Riley 1825. Parametriska lösningar i heltal finns för  - 1908 av A. S. Verebryusov [1] (en lärare i matematik vid Feodosiya manliga gymnasium , son till S. I. Verebryusov ), för  - 1936 av Mahler [2] .

Beslut

Ett nödvändigt villkor för representabiliteten av ett tal som summan av tre kuber: när de divideras med 9 ger det inte en återstod av 4 eller 5; eftersom kuben av ett heltal dividerat med 9 ger en återstod av 0, 1 eller 8, så kan summan av tre kuber dividerat med 9 inte ge en rest av 4 eller 5 [3] . Det är inte känt om detta villkor är tillräckligt.

1992 föreslog Roger Heath-Brown att alla som inte ger en rest av 4 eller 5 när de divideras med 9 har oändligt många representationer som summor av tre kuber [4] .

Det är dock inte känt om representationen av tal som summan av tre kuber är algoritmiskt avgörbar, det vill säga om algoritmen kan kontrollera existensen av en lösning för ett givet tal under en ändlig tid. Om Heath-Brown-hypotesen är sann är problemet lösbart och algoritmen kan lösa problemet korrekt. Heath-Brown-studien innehåller också mer exakta gissningar om hur långt en algoritm skulle behöva leta för att hitta en explicit representation, snarare än att bara avgöra om den existerar [4] .

Fallet , vars representation som summa av kuber inte var känt på länge, används av Björn Punen som ett inledande exempel i en undersökning av oavgjorda problem inom talteorin , varav Hilberts tionde problem är det mest kända exemplet [5] .

Små siffror

För det finns bara triviala lösningar

En icke- trivial representation av 0 som summan av tre kuber skulle ge ett motexempel till Fermats sista teorem för grad 3 [6] bevisat av Leonhard Euler : eftersom en av de tre kuberna kommer att ha motsatt tecken till de andra två talen, därför dess negation är lika med summan av dessa två.

För och det finns ett oändligt antal familjer av lösningar, till exempel (1 - Mahler, 1936, 2 - Verebryusov, 1908):

Det finns andra representationer och andra parametriserade familjer av representationer för 1 [7] . För 2 andra kända representationer är [7] [8]

Dessa likheter kan användas för att dekomponera vilken kub eller dubblerad kub som helst till en summa av tre kuber [1] [9] .

Emellertid är 1 och 2 de enda talen med representationer som kan parametriseras av polynom av fjärde graden [10] . Även när det gäller representationer skrev Louis J. Mordell 1953: "Jag vet ingenting" annat än små beslut

och även att alla tre kuberna måste vara lika med 1 modulo 9 [11] [12] . Den 17 september 2019 publicerade Andrew Booker och Andrew Sutherland, som hittade en representation för svåra fall 33 och 42 (se nedan), ytterligare en representation 3, som tog 4 miljoner timmar att hitta i Charity Engine-nätverket [13] [14] :

Andra nummer

Sedan 1955, efter Mordell, har många forskare letat efter lösningar med hjälp av en dator [15] [16] [8] [17] [18] [19] [20] [2] [21] [22] .

1954 hittar Miller och Woollett representationer för 69 tal från 1 till 100. 1963 utforskar Gardiner, Lazarus, Stein intervallet från 1 till 999, de hittar representationer för många tal, förutom 70 tal, varav 8 värden är mindre än 100. År 1992 hittade Heath-Brown et al en lösning för 39. År 1994 hittade Koyama, med hjälp av moderna datorer, lösningar för ytterligare 16 nummer från 100 till 1000. År 1994, Conn och Waserstein - 84 och 960. År 1995, Bremner - 75 och 600, Lux - 110, 435, 478. År 1997, Koyama et al. - 5 nya nummer från 100 till 1000. År 1999, Elkis - 30 och ytterligare 10 nya nummer från 10000 År 2007, Beck et al. - 52, 195, 588 [2] . 2016 Huisman - 74, 606, 830, 966 [22] .

Elsenhans och Jahnel 2009 [21] använde Elkis-metoden [20] , som använder gitterbasreduktion för att hitta alla lösningar av den diofantiska ekvationen för positiva högst 1000 och för [21] , sedan utökade Huisman 2016 [22] sök till .

Under våren 2019 utvecklade Andrew Booker (University of Bristol) en annan sökstrategi med beräkningstid proportionell mot snarare än deras maximum, och fann en representation av 33 och 795 [23] [24] [25] :

I september 2019 stängde Booker och Andrew Sutherland intervallet till 100 genom att hitta en representation av 42, för vilka 1,3 miljoner timmars beräkning spenderades i Charity Engine [26] :

Senare, samma månad, fann de en nedbrytning av talet 906 [27] :

Och sedan 165 [28] :

För 2019 hittades representationer av alla tal upp till 100 som inte är lika med 4 eller 5 modulo 9. Representationer för 7 tal från 100 till 1000 är fortfarande okända: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975 [26] .

Det minsta olösta fallet är [26] .

Alternativ

Det finns en variant av problemet där talet måste representeras som summan av tre kuber av icke-negativa heltal, detta problem är relaterat till Warings problem . På 1800-talet sammanställde Carl Gustav Jacob Jacobi och hans kollegor tabeller över lösningar på detta problem [29] . Det antas, men inte bevisat, att representativa tal har en positiv asymptotisk densitet [30] [31] , även om Trevor Wooley har visat att det är möjligt att representera tal i intervallet från till [32] [33] [34] i detta sätt . Densitet högst [3] .

Ett annat alternativ är med rationella tal. Det är känt att vilket heltal som helst kan representeras som summan av tre kuber av rationella tal [35] [36] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 A. S. Verebryusov (1908), Om ekvationen x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3 , Matematisk samling T. 26 (4): 622–624 , < http://mi.mathnet.ru /msb6615 > 
  2. ↑ 1 2 3 Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne & Yarbrough Jensen, Kim (2007), Nya heltalsrepresentationer som summan av tre kuber , Mathematics of Computation vol 76 (259): 1683–1690 , DOI 10.1090/S0025-5718-07-01947-3 
  3. ↑ 1 2 Davenport, H. (1939), Om Warings problem för kuber , Acta Mathematica T. 71: 123–143 , DOI 10.1007/BF02547752 
  4. ↑ 1 2 Heath-Brown, DR (1992), Densiteten av nollor av former för vilka svag approximation misslyckas , Mathematics of Computation vol. 59 (200): 613–623 , DOI 10.2307/2153078 
  5. ↑ Poonen, Bjorn (2008), Undecidability in number theory , Notices of the American Mathematical Society vol. 55 (3): 344–350 , < https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf > 
  6. ↑ Machis, Yu. Yu. (2007), Om Eulers hypotetiska bevis , Mathematical Notes vol. 82 (3): 352–356 , DOI 10.1134/S0001434607090088 
  7. ↑ 1 2 Avagyan, Armen & Dallakyan, Gurgen (2018), En ny metod i problemet med tre kuber , DOI 10.13189/ujcmj.2017.050301 
  8. ↑ 1 2 Heath-Brown, D. R. ; Lioen, WM & te Riele, HJJ (1993), On solving the Diophantine equation on a vector computer , Mathematics of Computation vol. 61 (203): 235–244, doi : 10.2307/2152950 , < https://ir.cwi .nl/pub/5502 > 
  9. ↑ Mahler, Kurt (1936), Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood , Journal of the London Mathematical Society vol 11(2): 136–138 , DOI 10.1112/jlms/s1-11.2.136 
  10. ↑ Mordell, LJ (1942), On sums of three cubes , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol. 17 (3): 139–144 , DOI 10.1112/jlms/s1-17.3.139 
  11. ↑ Mordell, LJ (1953), On the integer solutions of the equation , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol. 28: 500–510 , DOI 10.1112/jlms/s1-28.4.500 
  12. ↑ Likhetsmod 9 för tal vars kubersumma till 3 krediterades JWS Cassels av Mordell (1953 ), men dess bevis publicerades inte förrän Cassels, JWS (1985), A not on the Diophantine equation , Mathematics of Computation Vol . 44 (169): 265–266 , DOI 10.2307/2007811  .
  13. ↑ Lu, Donna Matematiker hittar ett helt nytt sätt att skriva siffran 3 . New Scientist (18 september 2019). Hämtad: 11 oktober 2019.
  14. ↑ markmcan. Vansinnigt enorm summa av tre kuber för 3 upptäcktes – efter 66 års sökning . [tweet] . Twitter (17 september 2019) .
  15. ↑ Miller, JCP & Woollett, MFC (1955), Solutions of the Diophantine equation , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol. 30: 101–110 , DOI 10.1112/jlms/s1-30.1.101 
  16. ↑ Gardiner, VL; Lazarus, R. B. & Stein, P. R. (1964), Solutions of the diophantine equation , Mathematics of Computation vol. 18 (87): 408–413 , DOI 10.2307/2003763 
  17. ↑ Conn, W. & Vaserstein, LN (1994), On sums of three integral cubes , The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992) , vol. 166, Contemporary Mathematics, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, sid. 285–294 , DOI 10.1090/conm/166/01628 
  18. ↑ Bremner, Andrew (1995), Om summor av tre kuber, Talteori (Halifax, NS, 1994) , vol. 15, CMS Conference Proceedings, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, sid. 87–91 
  19. ↑ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio & Sekigawa, Hiroshi (1997), On searching for solutions of the Diophantine equation , Mathematics of Computation vol. 66 (218): 841–851 , DOI 10.1090/S0025-5708-307 
  20. ↑ 1 2 Elkies, Noam D. (2000), Rational points near curves and small nonnoll via lattice reduction , Algorithmic number theory (Leiden, 2000) , vol. 1838, Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin, sid. 33–63 , DOI 10.1007/10722028_2 
  21. ↑ 1 2 3 Elsenhans, Andreas-Stephan & Jahnel, Jörg (2009), New sums of three cubes , Mathematics of Computation vol . 
  22. ↑ 1 2 3 Huisman, Sander G. (2016), Nyare summor av tre kuber 
  23. ↑ Kalai, Gil (9 mars 2019), Combinatorics and more , > 
  24. ↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , University of Bristol , < https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf > 
  25. ↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , Research in Number Theory , vol. 05:26, Springer , DOI 10.1007/s40993-019-0162-1 
  26. ↑ 1 2 3 Houston, Robin 42 är svaret på frågan 'vad är (-80538738812075974) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 ?' . Aperiodical (6 september 2019). Tillträdesdatum: 4 januari 2021.
  27. ↑ Andrew V. Sutherland personlig webbsida . Hämtad: 20 september 2019.
  28. ↑ Andrew V. Sutherland personlig webbsida . Hämtad: 30 september 2019.
  29. ↑ Dickson, Leonard Eugene (1920), History of theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis , Carnegie Institution of Washington, sid. 717 , < https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716 > 
  30. ↑ Balog, Antal & Brüdern, Jörg (1995), Summor av tre kuber i tre länkade tre-progressioner , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 1995 (466): 45–85 , DOI 10.1515/crll.1994454. 
  31. ↑ Deshouillers, Jean-Marc ; Hennecart, François & Landreau, Bernard (2006), Om densiteten av summor av tre kuber , i Hess, Florian; Pauli, Sebastian & Pohst, Michael, Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Tyskland, 23-28 juli 2006, Proceedings , vol. 4076, Lecture Notes in Computer Science, Berlin: Springer, sid. 141–155 , DOI 10.1007/11792086_11 
  32. ↑ Wooley, Trevor D. (1995), Bryta klassisk konvexitet i Warings problem: summor av kuber och kvasi-diagonalt beteende , Inventiones Mathematicae T. 122 (3): 421–451 , DOI 10.1007/BF012311 
  33. ↑ Wooley, Trevor D. (2000), Summor av tre kuber , Mathematika T. 47 (1–2): 53–61 (2002) , DOI 10.1112/S0025579300015710 
  34. ↑ Wooley, Trevor D. (2015), Sums of three cubes, II , Acta Arithmetica vol. 170 (1): 73–100 , DOI 10.4064/aa170-1-6 
  35. ↑ Richmond, H.W. (1923), Om analoger till Warings problem för rationella tal , Proceedings of the London Mathematical Society , Second Series vol. 21: 401–409 , DOI 10.1112/plms/s2-21.1.401 
  36. ↑ Davenport, H. & Landau, E. (1969), Om representationen av positiva heltal som summor av tre kuber av positiva rationella tal, Talteori och analys (Papers in Honor of Edmund Landau) , New York: Plenum, sid. 49–53 

Länkar