Lista över integraler av elementära funktioner

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Integration är en av de två grundläggande operationerna i kalkyl . Till skillnad från operationen av differentiering behöver inte integralen av en elementär funktion vara en elementär funktion. Till exempel följer det av Liouvilles teorem att integralen av inte är en elementär funktion. Tabeller över kända antiderivat är ofta mycket användbara, även om de nu tappar sin relevans med tillkomsten av datoralgebrasystem. Den här sidan innehåller en lista över de vanligaste primitiverna. $e^{x^2}$

$C$ används som en godtycklig integrationskonstant, som kan bestämmas om värdet på integralen vid någon tidpunkt är känt. Varje funktion har ett oändligt antal antiderivator.

Regler för att integrera funktioner

\int Cf(x)\,dx=C\int f(x)\,dx

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\höger)\, df(x)

\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C

Integraler av elementära funktioner

Rationella funktioner

\int \!0\,dx=C

(antiderivatan av noll är en konstant; i alla integrationsintervall är integralen av noll lika med noll)

\int \!a\,dx=ax+C

\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\ \ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}

\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operatörsnamn{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\operatörsnamn{arcctg}\,\frac{x}{a} + C

Bevis

Låt oss göra ett byte , det förstår vi $x=a\operatörsnamn {tg} t$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operatörsnamn {tg} t) \over a^{2}+( a\operatörsnamn {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a} +C={1 \over a}\operatörsnamn {arctg} {x \over a}+C.$

\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{xa \over {x+a}}\right| + C

("hög logaritm")

Logaritmer

\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C

\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C

\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C

Exponentialfunktioner

\int\!e^x\,dx = e^x + C

\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Irrationella funktioner

\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C

\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C

\int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\operatörsnamn{arcsec}\,{|x| \över a} + C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2))))=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a ^{2}}}}\right|+C

("lång logaritm")

\int \!{\sqrt {x^{2}+a^{2))}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a^ {2}}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|)+C

Bevis

Låt , anta också att . Låt oss använda hyperboliska funktioner , gör ersättningen $a<0$ $x\geq 0$ $x={\sqrt {-a}}\operatörsnamn {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatörsnamn {ch} t) ^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatörsnamn {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatörsnamn {ch} ^{2}t-1}}\operatörsnamn {sh} tdt\\&=-a\int \operatörsnamn {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatörsnamn {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\ vänster({\operatörsnamn {sh} 2t \över 2}-t\höger)+C_{1}\\&={-a \över 2}(\operatörsnamn {sh} t\operatörsnamn {ch} tt)+C_ {1}\end{aligned}}$

Men

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatörsnamn {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{ \sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatörsnamn {sh} t\operatörsnamn {ch} t=x({\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operatörsnamn {sh} t+\operatörsnamn {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Det är därför

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Därför får vi, inklusive logaritmen för nämnaren för det sista bråket i konstanten C

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2} \ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Om , då genom substitution reducerar vi integralen till det redan övervägda fallet. Om , så gör vi en ersättning och genomför resonemang liknande det övervägda fallet [1] . $x<0$ $x=-t,t>0$ $a>0$ $x={\sqrt {a}}\operatörsnamn {sh} t$

Trigonometriska funktioner

\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C

\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C

\int\!\operatörsnamn{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C

Bevis

$\int \!\operatörsnamn{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | + C$

\int\!\operatörsnamn{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C

Bevis

$\int \!\operatörsnamn{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x } = \ln | \sin x | + C$

\int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatörsnamn{tg}\,{x}\right|} + C

\int \!\operatörsnamn {cosec} {x}\,dx=-\ln {\left|\operatörsnamn {cosec} {x}+\operatörsnamn {ctg} \,{x}\right|}+ C

\int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatörsnamn{tg}\,x + C

\int \!\operatörsnamn {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatörsnamn {ctg} \,x+C

\int\!\sec{x} \, \operatörsnamn{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C

\int \!\operatörsnamn {cosec} {x}\,\operatörsnamn {ctg} \,{x}\,dx=-\operatörsnamn {cosec} {x}+C

\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C

\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

\int\!\sin^nx \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\ !\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\cos^nx \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\! \cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\operatörsnamn{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operatörsnamn{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^ 2 \right)} + C

Hyperboliska funktioner

\int \operatörsnamn{sh}\,x \, dx = \operatörsnamn{ch}\,x + C

\int \operatörsnamn{ch}\,x \, dx = \operatörsnamn{sh}\,x + C

\int \frac{dx}{\operatörsnamn{ch}^2\,x} = \operatörsnamn{th}\,x + C

\int \frac{dx}{\operatörsnamn{sh}^2\,x} = - \operatörsnamn{cth}\,x + C

\int \operatörsnamn{th}\,x \, dx = \ln |\operatörsnamn{ch}\,x| + C

\int \operatörsnamn{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operatörsnamn{th}\,{x \over2}\right| + C

\int \operatörsnamn {sech} \,x\,dx=\operatörsnamn {arctg} \,\operatörsnamn {sh} \,x+C

också

\int \operatörsnamn{sech}\,x \, dx = 2\, \operatörsnamn{arctg}\, (e^x) + C

också

\int \operatörsnamn{sech}\,x \, dx = 2\, \operatörsnamn{arctg} \, \left(\operatörsnamn{th}\, \frac{x}{2}\right) + C

\int \operatörsnamn{cth}\,x \, dx = \ln|\operatörsnamn{sh}\,x| + C

Bevis på

Bevis på formeln : $\int \operatörsnamn {sech} \,x\,dx=\operatörsnamn {arctg} \operatörsnamn {sh} \,x+C$

\int \operatörsnamn {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatörsnamn {ch} x}=\int {\operatörsnamn {ch} x \over \operatörsnamn {ch} ^{2 }x}dx=\int {d(\operatörsnamn {sh} x) \över 1+\operatörsnamn {sh} ^{2}x}=\operatörsnamn {arctg} \operatörsnamn {sh} x+C

Bevis på formeln : . $\int \operatörsnamn{sech}\,x \, dx = 2\operatörsnamn{arctg}(e^x) + C$ $\int \operatörsnamn {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatörsnamn {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x} }=2\int {d{e^{x}} \över 1+e^{2x}}=2\operatörsnamn {arctg} (e^{x})+C$

Bevis på formeln : $\int \operatörsnamn{sech}\,x \, dx = 2\, \operatörsnamn{arctg}\,\left(\operatörsnamn{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$

{\begin{aligned}\int \operatörsnamn {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatörsnamn {sh} ^ {2}{x \over 2}+\operatörsnamn {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2 }{x \över 2}(1+\operatörsnamn {th} ^{2}{x \över 2})}\\&=2\int {d(\operatörsnamn {th} {x \över 2}) \ över 1+\operatörsnamn {th} ^{2}{x \över 2}}=2\,\operatörsnamn {arctg} \,\left(\operatörsnamn {th} \,{\frac {x}{2}} \right)+C\end{aligned}}

Specialfunktioner

\int \operatörsnamn {Ci} (x)\,dx=x\operatörsnamn {Ci} (x)-\sin x

\int \operatörsnamn {Si} (x)\,dx=x\operatörsnamn {Si} (x)+\cos x

\int \operatörsnamn {Ei} (x)\,dx=x\operatörsnamn {Ei} (x)-e^{x}

\int \operatörsnamn {li} (x)\,dx=x\operatörsnamn {li} (x)-\operatörsnamn {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operatörsnamn {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatörsnamn {li} (x)-x

\int \operatörsnamn {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatörsnamn {erf} (x )

Anteckningar

↑ Vinogradova I.A., Olehnik S.N., Sadovnichiy V.A. Problem och övningar i matematisk analys. I 2 böcker. Bok. 1 / Ed. V.A. Sadovnichy. - 2:a uppl. - M .: Högre skola , 2000. - S. 187. - ISBN 5-06-003768-1 .

Bibliografi

Böcker

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabeller över integraler, summor, serier och produkter. - 4:e uppl. - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tabeller över integraler St. Petersburg: JSC VNIIGs förlag och tryckeri. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 sid. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , 31:a upplagan, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz och I.A. Stegun, red. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M . : " Nauka ", 1974.

Tabeller över integraler

Beräkning av integraler

Listor över integraler efter funktionstyper
Elementärt rationell irrationell trigonometrisk omvänd hyperbolisk omvänd exponentiell logaritmiska funktioner