Hadamard-Cartan-satsen
Hadamard-Cartan-satsen är ett uttalande om att den universella täckningen av ett Riemann-grenrör med icke-positiv krökning är diffeomorft till det euklidiska rummet .
Historik
För ytor i det euklidiska rymden bevisades satsen av von Mangoldt 1881 [1] , och oberoende av Hadamard 1898 [2] . Det allmänna fallet bevisades av Cartan 1928 [3] .
Generaliseringar till metriska utrymmen i olika generaliteter erhölls av Busemann [4] [5] och Rinov [6] , Gromov [7] och även av Alexander och biskop [8] .
Formulering
Cartan-Hadamard-satsen säger att det universella täckande utrymmet för en sammankopplad komplett Riemann -gren av icke-positiv sektionskrökning är diffeomorf till det euklidiska rummet. Dessutom är den exponentiella kartan vid vilken punkt som helst en diffeomorfism.
Variationer och generaliseringar
- Teoremet generaliserar till Hilberts mångfald i den meningen att den exponentiella kartläggningen är en universell täckning. I detta fall förstås fullständighet i den meningen att den exponentiella mappningen definieras på hela tangentrymden till punkten.
- Cartan-Hadamard-satsen för metriska rum: ett metriskt rum X med icke-positiv krökning i betydelsen av Aleksandrov är ett CAT(0) -rum.
- I synnerhet, om X helt enkelt är ansluten , då är två punkter i den förbundna med en enda geodetisk, vilket betyder att X är sammandragbar .
Antagandet om icke-positiv krökning kan mildras [8] . Vi kallar ett metriskt utrymme X konvext om för två geodesiker a ( t ) och b ( t ) funktionen
är en konvex funktion av t . Ett metriskt utrymme sägs vara lokalt konvext om var och en av dess punkter har ett område som är konvext i den meningen. Cartan-Hadamard-satsen för lokalt konvexa rum är formulerad enligt följande:
- Om X är ett lokalt konvext fullständigt anslutet metriskt utrymme, då är den universella täckningen av X ett konvext geodetiskt utrymme med avseende på den inducerade inneboende metriska .
- I synnerhet är den universella täckningen av ett sådant utrymme sammandragbar.
Anteckningar
- ↑ Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (tyska) // J. Reine Angew. Math.. - 1881. - Bd. 91 . — S. 23–53 .
- ↑ Hadamard, J. Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second order (franska) // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1898. - Vol. 26 . - S. 195-216 . Arkiverad från originalet den 3 juni 2018.
- ↑ Cartan, Elie. Lecons sur la geométrie des espaces de Riemann (franska) . - Paris: Gauthier-Villars, 1928. - vi + 273 sid.
- ↑ Busemann, H. Utrymmen med icke-positiv krökning. Acta Mathematica 80 (1948), 259-310.
- ↑ Buseman G. Geometrin för geodesik. — 1962.
- ↑ Rinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlin, Geidelberg, New York, 1961.
- ↑ Gromov, M. Hyperboliska grupper. Uppsatser i gruppteori. (engelska) // Math. sci. Res. Inst. Publ.. - New York: Springer, 1987. - Vol. 8 . — S. 75–263 .
- ↑ 1 2 S. B. Alexander, R. L. Biskop. Hadamard-Cartan-satsen i lokalt konvexa metriska utrymmen // Enseign. Matematik. (2). - 1990. - T. 36 , nr. 3-4 . - S. 309-320 .