Grothendiecks delningssats

Grothendiecks splitting theorem ger en klassificering av holomorfa vektorbuntar över den komplexa projektiva linjen . Hon säger nämligen att varje holomorf vektorbunt över är en direkt summa av holomorfa 1-dimensionella buntar $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ .

Historik

Teoremet är uppkallat efter Alexander Grothendieck , som bevisade det 1957. [1] Det motsvarar den sats som tidigare bevisats av George Birkhoff 1913 [2] men var redan känd 1908 för Josip Plemel [3] och 1905 för David Hilbert . [fyra]

Formuleringar

Grothendiecks formulering

Varje holomorft vektorbunt över är holomorft isomorft till en direkt summa av linjebuntar: ${\mathcal {E}}$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

{\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),

där betecknar en bunt med Chern-klass . Dessutom är denna representation unik upp till en permutation av termer. ${\mathcal {O}}(a)$ $a$

Birkhoffs formulering

En inverterbar matris , vars varje komponent är ett Laurentpolynom av , representeras som en produkt $M$ $z$

M=M^{+}M^{0}M^{-}

där matris är ett polynom i , är en diagonal matris och matris är ett polynom i . ${\displaystyle M^{+))$ $z$ ${\displaystyle M^{0))$ $M^{-}$ ${\tfrac {1}{z))$

Applikationer

Grothendiecks splitting theorem används i beviset av Micalef och Moores sfärsats för positiv komplexifierad krökning i isotropa riktningar.

Variationer och generaliseringar

Samma resultat gäller för algebraiska vektorbuntar över för vilket fält som helst . [5] ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1))$ $k$

Anteckningar

↑ Grothendieck, Alexander (1957), Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann , American Journal of Mathematics vol. 79: 121-138 , DOI 10.2307/2372388 .
↑ Birkhoff, George David (1909), Singular points of ordinary linear differential equations , Transactions of the American Mathematical Society vol 10 (4): 436–470, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307/1988594
↑ Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Matematik. Phys. 19 (1908), nr. 1, 211-245.
↑ Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
↑ Hazewinkel, Michiel & Martin, Clyde F. (1982), Ett kort elementärt bevis på Grothendiecks teorem om algebraiska vektorbuntar över projektivlinjen , Journal of Pure and Applied Algebra vol. 25 (2): 207–211 , DOI 10.12216/0 -4049(82)90037-8

Litteratur

Okonek, C.; Schneider, M. & Spindler, H. (1980), Vector buntes on complex projective spaces , Progress in Mathematics, Birkhäuser .