Kronecker-Webers sats

Kronecker-Weber-satsen är ett uttalande inom algebraisk talteorin , enligt vilket varje finit abelsk förlängning av fältet för rationella tal , eller med andra ord, varje algebraiskt talfält , vars Galois-grupp över är Abelian , är ett delfält av några cirkulärt fält , det vill säga fältet som erhålls genom att addera enhetsroten till de rationella talen. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Uppkallad efter Leopold Kronecker och Heinrich Martin Weber , utförde Kronecker huvuddelen av beviset 1853 , 1886 fyllde Weber och Hilbert i några av de logiska luckorna. Satsen kan bevisas genom direkta algebraiska konstruktioner, men är också en enkel konsekvens av resultat från klassfältteori .

För en given Abelisk fältförlängning kan man definiera ett minimalt cirkulärt fält som innehåller . För en given kan man definiera ett sådant minsta heltal som är ett delfält av fältet som genereras av roten till enhet i den e graden. Till exempel, för kvadratiska fält är detta tal det absoluta värdet av deras diskriminant . $K$ $\mathbb {Q}$ $K$ $K$ $n$ $K$ $n$

Frågan om att utöka satsen till ett godtyckligt talfält är ett av Hilberts problem ( 12 :e ), från och med 2022 förblir problemet olöst.

Litteratur

Greenberg, MJ An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem // American Mathematical Monthly : journal . — The American Mathematical Monthly, Vol. 81, nr. 6, 1974. Vol. 81 , nr. 6 . - s. 601-607 . - doi : 10.2307/2319208 .