Pointings teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 mars 2018; verifiering kräver 1 redigering .

Poyntings sats är en sats som beskriver lagen om bevarande av energi i ett elektromagnetiskt fält . Teoremet bevisades 1884 av John Henry Poynting . Det hela kokar ner till följande formel:

{\frac {\partial u}{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,

var är energitätheten :; _ $u$ $u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\ mu _{0}}}\right)$

\varepsilon_{0}

- elektrisk konstant , - magnetisk konstant ;

\mu_{0}

\nabla

— nabla operatör ; S är Poynting-vektorn ; J är strömtätheten och E är den elektriska fältstyrkan .

Pointings sats i integralform :

{\frac {\partial }{\partial t))\int _{V}u\ dV+\oint _({\partial V)){\mathbf {S))\ d{\mathbf {A))=- \int _{V}{\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}\ dV

var är ytan som begränsar volymen . $\partiell V$ $V$

I den tekniska litteraturen skrivs satsen vanligtvis enligt följande ( - energitätheter): $u$

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0

där är energitätheten för det elektriska fältet, är energitätheten för det magnetiska fältet och är styrkan av Joule-förluster per volymenhet. $\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}$ ${\frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}$ ${\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}$

Slutsats

Satsen kan härledas med två Maxwell-ekvationer (för enkelhetens skull antar vi att mediet är ett vakuum (μ=1, ε=1); för det allmänna fallet med ett godtyckligt medium är det nödvändigt att tillskriva ε och μ till varje ε 0 och μ 0 i formlerna) :

\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med , får vi: $\mathbf {B}$

{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=-{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Tänk först på Maxwell-Ampere-ekvationen:

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}.

Om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med , får vi: $\mathbf {E}$

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})={\mathbf {E}}\cdot \mu _{0}{\mathbf {J}}+{\mathbf { E}}\cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}.

Subtraherar vi det första från det andra får vi:

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})-{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=\mu _{ 0}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf { E}}}{\partial t}}+{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Till sist:

-\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\ mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t)).

Eftersom Poynting-vektorn definieras som: $\mathbf {S}$

{\mathbf {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}

detta motsvarar:

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0.

Generalisering

Den mekaniska energin för ovanstående sats

{\frac {\partial }{\partial t))u_{m}({\mathbf {r)),t)+\nabla \cdot {\mathbf {S))_{m}({\mathbf {r ) )),t)={\mathbf {J}}({\mathbf {r}},t)\cdot {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t),

där u_m är den kinetiska energin för densiteten i systemet. Det kan beskrivas som summan av den kinetiska energin för partiklarna α

u_{m}({\mathbf {r}},t)=\summa _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\dot {r}}_{ {\alpha }}^{2}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)),

${\mathbf {S_{m))}$ - energiflöde, eller "mekanisk Poynting-vektor":

{\mathbf {S}}_{m}({\mathbf {r}},t)=\summa _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\ punkt {r}}_{{\alpha }}^{2}{\dot {{\mathbf {r}}}}_{{\alpha }}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)).

Energikontinuitetsekvation eller energisparlag

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left({\mathbf {S}}_{e}+{\ mathbf {S}}_{m}\right)=0,

Alternativa former

Andra former av Poyntings teorem kan erhållas. Istället för att använda flödesvektorn kan man välja Abraham -formen, Minkowski-formen eller någon annan. ${\mathbf {S}}\propto {\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}$ ${\mathbf {E}}\times {\mathbf {H}}$ ${\mathbf {D}}\ gånger {\mathbf {B}}$