Mordells hypotes

Mordells gissning är en gissning om ändligheten av uppsättningen av rationella punkter på en algebraisk kurva av släktet , som lades fram av Louis Mordell 1922. Förmodan generaliserades senare från området för rationella tal till ett godtyckligt antal fält . Det bevisades av Gerd Faltings 1983 och kallas nu även för Faltings sats . $g>1$ $\mathbb {Q}$

Bakgrund

Låta vara en icke- singular algebraisk kurva över fältet . Uppsättningen av rationella punkter i en kurva beror på dess släkte enligt följande: $C$ $\mathbb {Q}$ $C$ $g$

Fall : det finns inga rationella punkter, eller så finns det oändligt många av dem; är ett koniskt snitt . $g=0$ $C$
Fall : det finns inga rationella punkter, eller så är det en elliptisk kurva , och dess rationella punkter bildar en finitely genererad abelisk grupp . Detta följer av Mordells teorem , senare generaliserad till -WeylsDessutom begränsar Mazurs torsionsteorem den möjliga strukturen för en torsionsundergrupp. $g=1$ $C$
Fall : enligt Mordells gissning kan endast ha ett ändligt antal rationella punkter. $g>1$ $C$

Bevis

År 1962 antog Shafarevich att upp till isomorfism är uppsättningen av algebraiska kurvor med ett givet släkte , ett definitionsfält och en uppsättning dåliga reduktionspunkter ändlig . 1968 visade Parshin hur Mordells gissning kan reduceras till Shafarevichs uttalade finitetsförmodan. $g>1$ $K$ $S$

1983 bevisade Faltings Shafarevichs ändlighetsförmodan genom att använda den välkända metoden för att reducera gissningen till fallet -förmodan verktygen för algebraisk geometri inklusive modellteori

Ett annat bevis baserat på Diophantine approximationer gavs Vojta Det förenklades senare av Faltings och Enrico Bombieri .

Konsekvenser

Faltings bevisade i sin uppsats från 1983 flera påståenden som tidigare ansågs vara hypoteser:

Mordells gissning att en kurva av släktet som är större än 1 över ett talfält endast har ett ändligt antal rationella punkter.
Shafarevichs gissning om existensen av endast en ändlig, upp till isomorfism, uppsättning av Abeliska varianter av givna dimensioner och grad av polarisering över ett fast nummerfält, som har en bra reduktion överallt utanför en given ändlig uppsättning punkter i detta fält.
Isogenisats för Abeliaska sorter med isomorfa Tate-moduler.

Den enklaste tillämpningen av Faltings sats är en svag form av Fermats sista sats : för varje vald , finns det bara ett ändligt antal coprime-lösningar till ekvationen , eftersom Fermat-kurvan för en sådan har släktet större än 1. $n\geq 4$ $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ $x^{n}+y^{n}=1$

Generaliseringar

I kraft av Mordell-Weyl- satsen kan Faltings-satsen omformuleras som ett uttalande om skärningen av en kurva med en ändligt genererad undergrupp av en abelsk sort . Genom att ersätta med en godtycklig undervarietet och med en godtycklig undergrupp av finit rang får vi en generalisering som leder till Mordell-Lengs gissning , vilket har bevisats. $C$ $\Gamma$ $A$ $C$ $A$ $\Gamma$ $A$

En annan generalisering av Faltings teorem är Bombierri-Leng-förmodan , som säger att om är en pseudokanonisk varietet (det vill säga en variation av allmän typ) över ett ändligt fält , så är uppsättningen av -rationella punkter ingenstans tät i Zariski-topologin av . Ytterligare generaliseringar av hypotesen lades fram av Paul Vojta. $X$ $k$ $k$ $X(k)$ $X$

Mordells gissning för funktionsfält bevisades av Manin 1963 och av Grauert 1965. Coleman 1990 fann och korrigerade en lucka i Manins bevis.

Litteratur

Mordell, LJ Om de rationella lösningarna av de obestämda ekvationerna av tredje och fjärde graden . Cambr. Phil. soc. Proc. 21, 179-192 (1922).
Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell . Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), nr. 1, 1-13.
A. Yu. Weintrob, A. B. Sosinsky. "Bevis på Mordell-förmodan" . - Kvant , 1984. - Nr 3 .
Ian Stewart . De största matematiska problemen. — M. : Alpina facklitteratur, 2016. — 460 sid. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Länkar

Bombieri, Enrico. Mordell gissningen återbesökt // Ann. Scuola Norm. Supera. Pisa Cl. Sci.. - 1990. - V. 17 , nr 4 . - S. 615-640 .
Coleman, Robert F. Manins bevis på Mordells gissning över funktionsfält // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe Serie: journal. - 1990. - Vol. 36 , nr. 3 . - s. 393-427 . — ISSN 0013-8584 . Arkiverad från originalet den 2 oktober 2011. . - " Mall:Inkonsekventa citat ". Arkiverad 2 oktober 2011 på Wayback Machine
Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Aritmetisk geometri. - New York: Springer, 1986. - ISBN 0-387-96311-1 . > Innehåller en engelsk översättning av Faltings (1983)
Faltings, Gerd. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern (tyska) // Inventiones Mathematicae : magazin. - 1983. - Bd. 73 , nr. 3 . - S. 349-366 . - doi : 10.1007/BF01388432 .
Grauert, Hans. Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper (tyska) // Publications Mathematiques de l'IHES : magazin. - 1965. - Nr. 25 . - S. 131-149 . — ISSN 1618-1913 . . - " Mall:Inkonsekventa citat ".
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diofantisk geometri. - Springer-Verlag , 2000. - Vol. 201. - ( Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 0-387-98981-1 . > Ger Vojtas bevis på Faltings sats.
S. Lang . Undersökning av diofantin geometri . - Springer-Verlag , 1997. - S. 101 -122. — ISBN 3-540-61223-8 .
Manin, Ju. I. Rationella punkter på algebraiska kurvor över funktionsfält (engelska) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matemacheskaya: tidskrift. - 1963. - Vol. 27 . - P. 1395-1440 . — ISSN 0373-2436 . . - " Mall:Inkonsekventa citat ".
Mordell, Louis J.Om de rationella lösningarna av den obestämda ekvationen för tredje och fjärde graden // Proc . Cambridge Philos. soc. : journal. - 1922. - Vol. 21 . - S. 179-192 . . - "".
Parsin, AN Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Volym 1. - Gauthier-Villars, 1971. - S. 467-471.
Parshin, AN (2001), M/m064910 , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4